专题01 构造等边三角形 （教师版）
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专题1：构造等边三角形
【典例引领】
例：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易某某：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。
/
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】首先构造全等三角形，过点E作EG∥BC，可得到△AGE是等边三角形，就可证出BGE≌△ECF，进而得出BE=EF
【解答】
证明：（2）图2：BE=EF．?图3：BE=EF．?
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G?
/?
∵四边形ABCD为菱形∴AB=BC?
又∵∠ABC=60°∴ΔABC是等边三角形 ?∴AB=AC ∠ACB=60°
又∵EG∥BC ?∴∠AGE=∠ABC=60°
又∵∠BAC=60° ?
∴△AGE是等边三角形 ?∴AG=AE，?∴BG=CE?
又∵CF=AE ?∴GE=CF?
又∵∠BGE=∠ECF=120° ?∴△
∴BGE≌△ECF（SAS） ?∴BE=EF??
图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G
/
∵四边形ABCD为菱形 ?∴AB=BC ?
又∵∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形
∴AB=AC ∠ACB=60° ?又∵EG∥BC
∴∠AGE=∠ABC=60°
又∵∠BAC=60°?∴△AGE是等边三角形?∴AG=AE ∴BG=CE?
又∵CF=AE?∴GE=CF ∵∠AGE =∠ECF=60° ∴△BGE≌△ECF（SAS）?∴BE=EF?
【强化训练】
1．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=
1
2
∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．
/
（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．
【答案】（1）①DE=
1
2
AQ，DE∥AQ，理由见解析；② E∥AQ，DE=
1
2
AQ，理由见解析；（2）AQ=2BP?sinα，理由见解析.
【分析】
（1）①先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠CBP=∠CAQ，即可判断出△BPC≌△AQC，再判断出△PCQ是等边三角形，进而得出CE=QE，即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
（2）先判断出，∠PAQ=90°㧟∠ACQ，∠BAP=90°㧟∠ACQ，进而得出∠BCP=∠ACQ，即可判断出进而判断出△BPC∽△AQC，最后用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】
（1）①DE=
1
2
AQ，DE∥AQ，
理由：如图1，连接PC，PQ，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=
1
2
∠BAC，
∵∠CAF=
1
2
∠ABC，
∴∠CBP=∠CAQ，
在△BPC和△AQC中，
????=????
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 m，则AE=PE=m，
∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，
在Rt△APT中，AT=
??
??
2
???
??
2
=
3
m，
在Rt△ABT中，∵AT2+TB2=AB2，
∴（
3
m）2+（2m）2=72，
解得m=
7
或-
7
（舍弃），
∴BF=
7
，AT=
21
，BP=3
7
，sin∠ABT=
????
????
=
21
7
，
∵OK=PQ=BP?sin∠PBQ=3
7
×
21
7
=3
3
，BQ=
??
??
2
???
??
2
=6，
∴OQ=BQ-BO=6-
7
2
=
5
2
，
∴P（-
5
2
，3
3
）
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