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直升考试《数学》模拟试题六

一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)．

1、函数 f (x) ?

的定义域和连续区间分别是 ( c)．

A [?1,1] 和[?1,1] ； B

C [?1,3] 和[?1,3] ； D

[?1,1] 和(?1,1) ；

[?1,3] 和(?1,3) ．

2、下列四条关于函数 f (x) 的性质之间的正确关系是 ( A)．

(1)

(3)

f (x) 在闭区间[a, b] 上连续； (2)

f (x) 在闭区间[a, b] 上任意点处可微； (4)

f (x) 在闭区间[a, b] 上可导； f (x) 在闭区间[a, b] 上可积．

A (2) ? (3) ? (1) ? (4) ； B

C (1) ? (2) ? (3) ? (4) ； D

(2) ? (3) ? (4) ? (1) ；

(1) ? (4) ? (2) ? (3) ．

? 1

?x sin x , x ? 0 3、函数 f (x) ? ?

? sin x , x ? 0



在点 x ? 0 处不成立的是 (D )．

?

?

A lim

x?0?

f (x) ? 0 ； B

lim

x?0?

f (x) ? 1；

C lim

x?0?

f (x) ? lim

x?0?

f (x) ； D

lim

x?0?

f (x) ? lim

x?0?

f (x) ．

4、设 f (x) ? cos x ，则lim

h?0

f (a) ? f (a ? h) ?

h



(B )．

A sin a ； B

sin a ； C

cos a ； D

cos a ．

5、设函数 y ?

f (x) 在(a, b) 内 f '(x) ? 0 和 f ''(x) ? 0 ，则

y ? f (x) 在(a, b) 内(A )．

A 单调增加且是凸的； B 单调增加且是凹的； C 单调减少且是凸的； D 单调减少且是凹的． 6、设? f (x)dx ? sin x ? C ，则? f (arcsin x) dx ? ( C D)．

A arcsin

x ? C ； B

sin

C ； C

1 (arcsin x)2 ? C ； D 2

x ? C ．



7、设a ? 0 ，则

0

a 2 ? x 2 dx ?

(B )．

A 0 ； B

? a 2

； C

4

? a 2

； D

2

? a 2 ．

8、设 g(x) 具有连续导数，并且 g(0) ? 0 ， g'(0) ? 0 ，则当 x ? 0 时 ( C)．

A g(sin x) 是比 g(x) 较高阶的无穷小； B C g(sin x) 与 g(x) 是等价无穷小； D

g(sin x) 是比 g(x) 较低阶的无穷小．

g(sin x) 与 g(x) 是同阶非等价无穷小．

二、填空题(每小题 4 分，共 40 分)．

1、lim?1 ?

n???

1 ?n

?

?



???， lim

x?0 x



???．

2、函数 f (x) ?

x 2 ?1



x 2 ? 3x ? 2



的可去间断点是 ，铅直渐近线是 ．

3、已知函数 f (x) 可导， F (x) ? f (ex ) ，则 F '(x) ???．

4、设 y ? e? x ，则 y (n) ???．

5、设函数 y ? x ? 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 1．

0 ?

? 1 ,

? x

x ? 1

六、应用题(14 分)．

过抛物线 y ? x 2 ? 1 上的点(1,2) 作切线,该切线与抛物线及 y 轴所围成的平面图形为 D ．

1、求切线的方程；

2、求平面图形 D 的面积；

3、求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积V ．

七、证明题(8 分)．

设b ? 0 ，函数 g(x) 在闭区间[0, b] 上连续，并且0 ? g(x) ? b ，证明方程

2bx ?

0

在开区间(0, b) 内有且仅有一个实根．

g(t)dt ? b2

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