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第1讲　集合及其运算

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集



符号

N

N＋(或N*)

Z

Q

R



[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N＋和N*的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.

2．集合间的基本关系

　 表示

关系

自然语言

符号

语言

Venn图



子集

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)

A?B

(或B?A)





真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

A?B

(或B?A)





集合

相等

集合A，B中元素相同

A＝B





3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集



图形

语言









符号

语言

A∪B＝

{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝

{x|x∈A且x∈B}

?UA＝

{x|x∈U且x?A}



4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.

常用结论

(1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

(2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.

(3)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)

(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)

(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)

(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　)

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×

二、易错纠偏

 (1)忽视集合中元素的互异性致误；

(2)忽视空集的情况致误；

(3)忽视区间端点值致误．

1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________．

解析：因为B?A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.

答案：0或3

2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝.

答案：0或

3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．

解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，

(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．

答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)

集合的概念(自主练某某)

1．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x?A}，则集合B中元素的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

解析：选A.若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；

当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；

当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；

当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，

所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C.因为∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.

3．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.

答案：－

4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．

解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

答案：2



解决集合概念问题的3个关键点

(1)确定构成集合的元素；

(2)确定元素的限制条件；

(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

[提醒]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．　

集合的基本关系(典例迁移)

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

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