课时跟踪检测（七十九） 不等式的证明(1)
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课时跟踪检测（七十九） 不等式的证明
1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2.设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值.
解：(1)由2＝＋≥2 ，得ab≥，
当a＝b＝时取等号.
故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号.
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由(a－b)2≥4(ab)3，得2≥4ab，
即2－≥4ab，从而ab＋≤2.
又ab＋≥2，当且仅当ab＝1时取等号.
所以ab＝1.
3.已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1].
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因为f(x)＝k－|x－3|，
所以f(x＋3)≥0等价于|x|≤k，
由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k].
因为f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，
因为a，b，c是正实数，
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9.
当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立.
因此a＋2b＋3c≥9.
4.(2019·*_**已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.
解：(1)当x≥1时，原不等式可化为x－1≥3－2x，解得x≥，∴x≥；
当0＜x＜1时，原不等式可化为1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；
当x≤0时，原不等式可化为1－x≥3＋2x，解得x≤－，∴x≤－.
∴原不等式的解集为.
(2)证明：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.
又＋b≥2a，＋a≥2b，当且仅当a＝b时等号成立，
∴两式相加得＋≥2a＋2b，
∴＋≥a＋b＝4，
当且仅当a＝b＝2时等号成立.
5.(2019·*_**(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)，若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，求a的值；
(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥.
解：(1)因为a＞0，
所以f(x)＝|x＋1|＋|x－a|＝
又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，
解得a＝2.
(2)证明：＋＋
＝
＝
＝
≥.
6.设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.
(1)求M；
(2)当x∈M时，求证：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
解：(1)由已知，得f(x)＝
当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，
解得x≤0，此时x≤0；
当x＞2时，由f(x)＝3x－5≤－1，
解得x≤，显然不成立.
故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}.
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 (x)在(－∞，3]上是增函数，
在(3，＋∞)上是减函数，
∴g(x)max＝g(3)＝2，∴m＋≥g(x)max＝2，
即m＋－2≥0?＝≥0，∴m＞0.
综上，实数m的取值范围是(0，＋∞).
(2)证明：由m＞0，知m＋3＞m＋2＞m＋1＞1，
即lg(m＋3)＞lg(m＋2)＞lg(m＋1)＞lg 1＝0.
∴要证log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3).
只需证＞，
即证lg(m＋1)·lg(m＋3)＜lg2(m＋2).
又lg(m＋1)·lg(m＋3)＜2
＝＜＝lg2(m＋2)，
∴log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)成立.
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