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第18章 平行四边形 专项训练

专训1.判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．

利用两组对边分别平行判定平行四边形

1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．

利用一组对边平行且相等判定平行四边形

3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，

且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．

利用两组对角分别相等判定平行四边形

4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

利用对角线互相平分判定平行四边形

5．如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

专训2.构造中位线的方法

名师点金：

三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．

连接两点构造三角形的中位线

1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．

利用角平分线＋垂直构造中位线

2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

倍长法构造三角形的中位线

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.

∴NH＝MN.

∴AE＝2NH＝2×MN＝MN.

(第6题)

　
(第7题)

7．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点．

又∵H为NC的中点，

∴DH∥BN.

又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．

∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，

∴AP＝PD.

∴AP＝EH，

易某某△APN≌△HEN，∴AN＝NH.

∴AN＝NH＝HC，∴AN＝AC.

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