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第八章 ? 方向导数 ? 梯度 第五节 方向导数与梯度- 2 - 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行．1.问题的提出 一 、方向导数- 3 -2. 方向导数定义定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向某某 ) 存在下列极限: - 4 -定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故- 5 -特别:? 当 l 与 x 轴同向? 当 l 与 x 轴反向注：方向导数存在偏导数不一定存在。对于XX函数向某某?, ?， ) 的方向导数为- 6 -讨论函数 偏导数是否存在？方向导数是否存在？处的在点？解:- 7 -故沿任意方向的方向导数均存在且相等.- 8 -例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量的方向导数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向导数存在偏导数存在? 可微- 9 -解:故- 10 -例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解: 方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数- 11 -1. 场的定义函数数量场 (数量函数)场向量场(向量函数)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等定义个场，当对应的物理量为数量时，则称为数量场，当对应的物理量为向量时，则称为向量场。二、梯度 - 12 -方向导数公式令向量这说明模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：方向：f 变化率最大的方向2. 梯度< 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 2, 3)沿曲线切方向朝 x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为- 18 -函数在一点的梯度垂直于某某等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.2. 梯度的几何意义[文章尾部最后300字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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