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拓展2

第一节 一元二次方某某的根与系数的关系

关于根与系数的关系（又称韦达定理）

两根为
、
，则
，
，逆定理也存在。

即以
、
为根的一元二次方某某（二次项系数为1）是

练习：1. 若x1，x2是方某某2x2 – 3x – 1 = 0的两个根，则x1 + x2 = _________，

x1x2 = __________；

2. 如果x1，x2是方某某
的两个根，那么x1 + x2 = ______，

x1x2 = _______________；

3. 若关于x的一元二次方某某
有根，则当m=__________时，方某某有两个互为相反数的根；

4． 如果关于x的方某某
的两个根为x1，x2，则b = _____，c =____；

5．如果方某某
的两个根分别为
，
，那么p =____，q=___；

6．以
，
为根且二次项系数为
的一元二次方某某是_____________；

练习答案：

1．
，
； 2.
，
； 3. m = 2； 4.
，
；

5．
，1； 6.
.

韦达定理主要用途：

（1）不解方某某求有关两根的对称式的值，一般有四种基本类型：

分式形式往往通分，如：
，

多项式形式的往往因式分解，如：

多项式乘积形式往往利用法则展开，如：
，

用恒等变形公式，如：
，
，
，

练习：1. 已知
、
是方某某
的两个实数根，则
=______；

2． 若方某某
的两个实数根为
、
，则
=___________；

3. 设x1，x2是方某某x2– 4x+1=0的两个根，则
________________；

练习答案：1. – 14； 2.
； 3. 3.

（2）已知两数的和与积，求这两个数：

例：两数和为14，两数积为 – 1，则这两个数为____________________；

解：设两个数为a，b，则a + b = 14，ab = – 1.可把a，b看作是方某某

x2 – 14x – 1 = 0的两根，

解x2 – 14x – 1 = 0得
，所以这两个数为
和

练习：如果两个数的和是– 7，它们的积是– 18，那么这两个数是_______.（答案：– 9和2）

（3）已知方某某的一个根，求另一个根及方某某中某个字母的值：

关于x的一元二次方某某
的一个根是零，则m = ___；

已知x2 – 7x + 15 = k的一个根是2，则k的值是_________________；

已知
是方某某
的一个根，则这个方某某的另一个根是______；

方某某
的一个根为3，则另一根为______，k =_________；

方某某
的一个根为3，则另一根为_______，a =__________；

若关于x的方某某
的一个根是另一个根的2倍，则m的值是_____.

练习答案：1.
； 2. 5； 3.
； 4. – 6，– 17；

5.
，– 5； 6. 2.

（4）作出新方某某，使新方某某的两根是原方某某两根的某种关系：

例：已知方某某
，求作一个一元二次方某某，使它的两个根分别比已知方某某各根的平方大2.

解：设方某某
的两根为
、
，则
，

则新方某某的两根为
，
，则
，

所以，新方某某为
即4

练习：1. 已知关于x的方某某
的两个根为
、
，以
，
为根的一元二次方某某为________________________；

2. 设x1，x2是关于x的方某某
的两根，
，
是关于x的方某某
的两根，则p、q的值 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。
； 2. D； 3. C.

3．解有关一元二次方某某综合题的顺序：

（1）先整理方某某为一般式；

（2）再考虑二次项的系数不为零，即a≠0，如果不明确，则要分类讨论；

（3）凡是和根与系数关系有关的问题先考虑二次项系数不为0，再考虑
；

（4）注意题目中的一些隐含条件，如偶次方根的被开方数为非负数；

（5）可利用配方的方法确定一些带字母的代数式的符号；

（6）
两根为
、
， a，b，c，五个量中知道任意的三个，可以通过解方某某组和韦达定理求得另两个。

4．其他有用的结论：（1）方某某
等价于某某
；

（2）一个二次多项式A为完全平方式等价于某某A = 0有两个相等的实数根；

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