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小球入盒模型的应用

【引例】

①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？

②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？

③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？

④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？

解析：①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法。

②法1：（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有
种放法。

法2：（先分组后分配）先将不同小球分为四组，考虑盒子不同，有4+0+0型(3种方法)、3+1+0型（24种方法）、2+2+0型(18种方法)、2+1+1型(36种方法)，累计3+24+18+36=81种放法。

③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(1种方法)、3+1+0型（4种方法）、2+2+0型(3种方法)、2+1+1型(6种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法。

④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型（分组数:1;排序数：3）、3+1+0型（分组数:1;排序数：6）、2+2+0型（分组数:1;排序数：3）、2+1+1型（分组数:1;排序数：3，故有3+6+3+3=15种放法。

法2：（隔板法）每种放法对应某某4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有
=15种放入的方式。

一．n个相同的小球放入m个不同的盒子模型

在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。

模型1 将n个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4,…,m的m个不同的盒子中(m≤n)，每个盒子中至少有一个小球的不同放法总数为 。

解析：n个相同小球串成一串从n-1个间隙里选m-1个结点剪成m段（或者看作插入m－1块隔板），有
种方法。

模型2 将n个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4,…,m的m个不同的盒子中(m≤n)，每个盒子可空的放法总数为 。

解析：先将每个盒子放入一个球，则问题等价转化为将m+n个相同的小球放入m个不同的盒子，且每个盒子至少有一个小球，于某某n+m-1个位置中选m-1个位置安排隔板即可，所以放法总数为
。

模型3 将n个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4,…,m的m个不同的盒子中(m≤n)，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数的放法总数为 。

解析：先在编号1，2，3，4,…,m的m个盒子内分别放0，1，2，3，4,…,m-1个球，剩下个球分成m组，每组至少1个，由模型1方法知有
种方法。

隔板法：将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放人盒子的一种方法，此法称为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．

应用1（求不定方程整数解）

1．不定方程
的正整数解的个数为 。

解析：可看作n个相同的小球放入m个不同盒子中,要求每个盒子不空时球的放法数，于某某n个小球排成一行，它们形成n-1个空挡，只插m-1个隔板，故有
种方法。

2．不定方程
的非负整数解的个数为 。

解析：可看作n个相同的小球放入m个不同盒子中,要求每个盒子可空时球的放法数,由模型2知非负整数解的个数为 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 同，且盒子不能空

例7 8个不同的球放入标号为1、2、3的三个不同盒子中，每个盒子中至少有一个。 问有多少种不同的放法？

答案 5796（8=1+1+6=1+2+5=1+3+4=2+2+4=2+3+3）

结论　n个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！

3．8 球不同，盒子不同，且盒子可以空（分堆后排序 或 把球当主体一个一个放到盒子里）

例8．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个不同盒子中，问有多少种不同的放法？

答案 6561（

3

8

=6561）

结论　n个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法种数等于ｍn种。

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