习题详解-第1章 函数
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习题1-1
1. 求下列函数的定义域：
(1) ; (2) ；
(3) ； (4) .
解：⑴ 要使式子有意义，x必须满足，由此解得，因此函数的定义域是。
⑵ 要使式子有意义，x必须满足 即 因此函数的定义域是。
⑶ 要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是。
⑷ 要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是
2. 判断下列各组函数是否相同?
(1) ，； (2) ，,
(3) ，； (4) , ．
解：(1) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若，求，.
解：，
4. 若，求, .
解：令.则,从而，
所以，
。
5. 设，求，，?。
解：，，。
6. 设，求f（?1）, f（?）, f（?）, f（x?1）.
解： ，，
7．作出下列函数的图形：
(1) ； （2） ； (3)
8. 某***规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过部分公里为元. 求运价m和里程s之间的函数关系.
解：由题意可得
9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从XX到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求XX到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.
解：由题意可得
习题1-2
1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？
(1) ； (2) ；
（3）. (4)
解：(1) 的定义域是，
， 是奇函数。
(2) 的定义域是，
， 是偶函数。
⑶ 的定义域是，
，且，既不是奇函数也不是偶函数。
(4) 的定义域是，
，是奇函数。
2. 设下列函数的定义域均为,证明：
(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；
(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数；
(3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
证明：(1)设、是奇函数，令，
、是奇函数，即，
，因此两个奇函数的和仍为奇函数。
设、是偶函数，令，
、是偶函数，即，
，因此两个偶函数的和仍为偶函数。
(2) 设、是奇函数，令，
、是奇函数，即，
，因此两个奇函数的积为偶函数。
设是奇函数，是偶函数，令，
是奇函数，是偶函数，即，
，因此一奇一偶的乘积为奇函数。
(3) 设是任一函数，令，，
，即是偶函数
，即是奇函数，
又，
任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
3. 证明函数在内是单调增加的函数..
证明：在内任取两点任取两点且则
因为是内任意两点, 所以
又因为故，即
所以在内是单调增加的.
4. 设函数是周期的周期函数，试求函数的周期.
解：因为是周期的周期函数，所以，
即，因此的周期。
5．已知函数的周期为2，并且
试在上作出函数的图形.
6．验证函数在开区间 内无界，在开区间 内有界.
解：因为对任意，存在，使得，所以在开区间 内无界。
因为，所以，即，因此在开区间 内有界。
习题1-3
1. 求下列函数的反函数及其定义域：
(1) ； (2) ；
（3）； (4) ．
解：(1) 由解得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
(2) 由解得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
（3）由解得，可得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
(4) 由解得，可得，
故所求反函数为，反函数的定义域为。
2. 证明：和互为反函数.
证明：设，由此式可得，故的反函数是，
因此和互为反 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 2） ;
（3）.
解：（1）要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是。
（2）要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是。
（3）要使式子有意义，x必须满足，即，
因此函数的定义域是。
3. 函数的定义域为 ，值域为 .
4. 设，则 .
解：.
5.判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） .
解：（1）因为 ，所以是偶函数。
（2） 因为，所以是奇函数。
6.判断下列函数在定义域内的有界性及单调。
(1) ； （2） .
解：(1) ①有界性：
因为所以 故，对一切都成立.因此函数在上是有界函数
②单调性：在内任取两点且则
当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调减少的.
当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调减少的.
当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调增加的.
（2） ①单调性：在内任取两点且则
因为故且，所以，即，所以在内是单调增加的.
②有界性：因为在内是单调增加的，所以在内无界。
7.设y=f(x)的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：(1) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，解得，故的定义域为.
(2) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以 ，解得，故的定义域为.
(3) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，又因为，故可解得，因此的定义域为.
(4) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，解得，
当时，可解得；当时，无解
故时，的定义域为，
时定义域为空集。
8. 设，，求，，和.
解：，，
，.
9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？
（1） ；
（2）.
解：（1） 由复合而成的。
（2）由复合而成的。
10.设定义在上，证明：
（1）为偶函数；
（2）为奇函数.
解：（1）设，则，
所以为偶函数。
（2）设，
则，所以为奇函数。
11.邮局规定国内的平信，每20g付邮资0.80元，不足20g按20g计算，信件重量不得超过2kg，试确定邮资y与重量x的关系.
解：由题意可知.
（B）
1. 求函数的定义域.
解：要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是.
2．设求函数的定义域.
解：由的定义域是，故，解得，所以函数的定义域为.
3．下列函数是奇函数的是 ( B )，是偶函数的是 ( A ).
A. ；
B. ；
C. ；
D. .
解：A. 的定义域是，是对称区间，
因为，
所以是偶函数。
B.的定义域是，是对称区间，
因为
所以，是上的奇函数.
C. 的定义域是，是对称区间，
因为，所以是非奇非偶函数。
D. 的定义域是，是对称区间，
因为，所以是非奇非偶函数。
4. 设 求
解：因为，所以.
5. 设函数为定义域上的奇函数，，且对任意满足
(1) 求与；
(2) 问为何值时，是以2为周期的函数.
解：(1) 因为，即，又因为函数为奇函数，故，所以，
.
(2) 若想要是以2为周期的函数，只要有，则只要
故当时，是以2为周期的函数.
6. 设函数的定义域为，证明必存在上的偶函数及奇函数 使得
证明：令，，
因为，，所以是偶函数，是奇函数
又，命题得证。
7．若对其定义域上的一切, 恒有则称对称于
证明: 若对称于及 则是以为周期的周期函数.
证明：因为对称于，则有又因为对称于，则有
所以，
即是以为周期的周期函数.
8. 已知, 求.
解：因为，
所以
9. 已知, , 求.
解：由 ，解得.
10. 设，求.
解：令，解得，则有，
即，又因为，
可解得.
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