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小题专练（10）圆锥曲线

1.方某某(x2-y2-1)
=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)

　(　　)

【解析】选B.原方某某等价于
或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分(含交点),后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.

2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是　(　　)

A.圆　　　　　　　　　 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,

故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,

所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,

由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.

3．(2017·**_*平行四边形ABCD内接于某某＋＝1，直线AB的斜率k1＝1，则直线AD的斜率k2＝(　　)

A. B．－ C．－ D．－2

[解析]　解法一：设AB的中点为G，由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减是＝－，整理得＝－＝－k1＝－1，即＝－.

又G，所以kOG＝＝－，

即k2＝－，故选B.

解法二：设直线AB的方某某为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D(－x2，－y2)．则直线AD的斜率k2＝＝＝1＋.联立消去y得3x2＋4tx＋2t2－4＝0，则x1＋x2＝－，

∴k2＝1＋＝－.故选B.

[答案]　B

4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为　(　　)

A.
　　　 B.3　　　 C.
m　 　　D.3m

【解析】选A.双曲线C:
-
=1,

则c2=3m+3,c=
,

设焦点F(
,0),

一条渐近线方某某为y=
x,

即x-
y=0,

所以点F到渐近线的距离为d=
=
.

5.P是椭圆
+y2=1上的一点,F为一个焦点,且△POF为等腰三角形(O为原点),则点P的个数为　(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

【解题提示】可按腰分三种情况讨论,然后按每种情况分别求解,最后再得出结论.

【解析】选D.使△POF为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.分别为:作线段OF的中垂线与椭圆交于两点;以F为圆心,
为半径画弧,与椭圆交于两点;以O为圆心,
为半径画弧,与椭圆交于四点,共有8个点.

6．(2017·XX卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方某某为(　　)

A.－＝1 B. 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 解得m＝－3，∴n＝±2.

∵a＝－3n，∴a＝±6，

∴|AB|＝＝20.故选A.

[答案]　A

12．(2017·**_*已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝(　　)

A．2 B．3 C. D.

[解析]　

如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.

根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，

在△NHM中，|NM|＝|NH|，则

∠NMH＝45°.

在△MFK中，∠FMK＝45°，

所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.

所以|MF|＝.故选C.

[答案]　C

13．(2018·*_**抛物线y2＝4x的焦点为F，倾斜角等于45°的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB|＝__________.

[解析]　由抛物线焦点弦的性质，得|AB|＝＝＝8.

[答案]　8

14．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(x1－1)(x2－1)＝________.

解析：设过定点(1,0)的直线的方某某为y＝k(x－1)，代入抛物线方某某x2＝y得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1.

答案：1

15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方某某为______________．

解析：抛物线x2＝2py的准线方某某为y＝－，与双曲线的方某某联立得x2＝a2(1＋)，根据已知得a2(1＋)＝c2 ①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2 ②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方某某是y＝±x.

答案：y＝±x

16.(2016·*_**已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当
+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为　　　　.

【解析】设A(x1,y1),C(x2,y2),

由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线
-
=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,

所以B(-x1,-y1),所以k1k2=
·
=
.

因为点A,C都在双曲线上,

所以
-
=1,
-
=1,

两式相减,可得k1k2=
>0,

对于
+ln|k1|+ln|k2|=
+ln|k1k2|,

函数y=
+lnx(x>0),

由y′=-
+
=0,得x=0(舍)或x=2,

x>2时,y′>0,0请点击下方选择您需要的文档下载。

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