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第五讲 动量 动量守恒

【知识梳理】

一、冲量

1．恒力的冲量

设恒力F作用在质点上的持续时间为t，把恒力与力的作用时间的乘积称为力的冲量。用符号I表示，即I=F·t ①

冲量是矢量，其方向与恒力F的方向相同。冲量是一个过程量，它不仅与恒力F有关，而且与过程所持续的时间t有关。

2．变力的冲量

如果作用在质点上的力随时间变化，不论是数值变化还是方向变化，都不能直接应用①式来计算一段时间内的冲量。但是可以把t这段时间分成若干小段，例如分成n段，如果每一段的时间Δt1，Δt2，…，Δtn都足够小，即可以认为在每一小段时间内作用力均为恒力，这样对每一小段作用时间都可以用①式来计算冲量，则t这段时间内的总冲量就等于各小段时间内冲量的矢量和。

3．合力的冲量

如果同时有N个力作用在一个质点上，合力F为各分力f1，f2，…，fN的矢量和，则I＝I1+I2+…+IN式中I1、I2、…、IN分别代表各分力在t时间内的冲量。就是说，合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时间内冲量的矢量和。计算合力的冲量可以先求出合力，然后计算合力的冲量；也可以先计算出各分力的冲量，再求矢量和得到合力的冲量。

二、动量

动量的表达式P=mv，它是矢量，方向与该时刻的速度v方向相同。P是一个与质点运动过程无关而仅由运动状态确定的量。

三、动量定理

(1)数学表达式：F·t=mv2-mv1，这表明作用在质点上的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量（末动量减初动量）。上式不仅表示两者大小上是相等的，还意味着方向的相同。因而实际解题中可通过正交分解法在某一方向上运用动量定理列式。如：Fx·t=mv2x – mvlx，Fy·t＝mv2y－mvly

(2)动量是一个与速度相联系的状态量，冲量是一个与时间相联系的过程量，动量定理给出了物体的这种状态量的变化量与相应的过程量间的关系。

(3)质点的动量定理是由牛顿定律导出的，所以只能在惯性系中运用。若需要在非惯性系中应用动量定理时，还需考虑惯性力的冲量，这时，质点动量的改变量应等于合力冲量与惯性力冲量之和。

四、动量守恒定律

(1)定律内容：由相互作用的几个物体组成的系统，若系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

(2)数学表达式： ∑ p＝∑ p′

此式中∑ p与∑ p′分别表示系统始末两个状态系统动量之和，这是矢量式。若系统在某一方向，如x轴不受外力或外力分量之和为零，则该方向上的动量分量守恒，也可写为代数式 ∑px＝∑px?/p>

mlvl+m2v2＝mlv′l+m2v′2为两个物体在一维坐标发生正碰时的动量守恒定律的表达式，要注意守恒方程中的速度均应相对同一惯性系而言。

(3)适用条件及适用范围：①适用条件：一是系统不受外力的理想情况，实际上并不存在。许多过程为在某一方向不受外力，则该方向动量守恒。二是系统所受合外力为零。三是在碰撞过程中，由于系统相互作用力很大，且作用时间极短，当满足内力远大于外力，外力的冲量可忽略，一般可确定系统动量守恒。②适用范围：动量守恒定律是自然界普遍适用的基本规律之一，它比牛顿运动定律的适用范围要广泛得多。牛顿运动定律只适用于解决宏观物体的低速运动问题，动量守恒定律不仅能解决低速问题，而且还能用来处理接近光速的运动问题；动量守恒定律不但适用于宏观物体，而且还适用于电子、中子、质子等微观粒子的相互作用。小到微观粒子，大到天体系统，无论相互作用的是什么力，即使对相互作用力的情况还了解得不太清楚，动量守恒定律也都是适用的。

五、质心与质心运动

质心：质点系的质量中心成为质心。若质点系里有n个质点，它们的质量分别为m1，m2，…mn，相对于坐标原点的位置矢量分别为r1，r2，…rn，则质点系的质心位置
，
投影到直角坐标系中，可得质心的位置坐标，
等。

质心速度和质心动量：相对于选定的参照系，质点系的质心位置矢量对时间的变化率称为质心速率（vc），其值等于任一时刻质点系的总动量除以质量，即
，质点系的总质量与质心速度的成绩称为质心动量。质心动量就等于总动量。说明质点系的总动量与质量全部集中在质心，并与以质心速度运动的一个质点的动量完全等价。因此，质点系动量定理可表述为：作用在质点系的合外力的冲量等于质心动量的增量，

由于一个质点系在不受外力作用（或外力作用之和为零）时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变其质心的运动状态，其含义是：①如果一个质点系的质心是静止的，那么无外力作用（或外力作用之和为零）时，质心位置始终不变。②如果一个质点系的质心是运动的，无外力作用（或合外力为零）时，质心将以原来的速度做匀速直线运动。③如果一个质点系质心在某一外力作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。

质心运动定律：作用在质点系的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积。F合=Mac。对于由n个质点组成的系统，若第i个质点的加速度为ai，则质点系的质心加速度可表示为
。

六、角动量定理和角动量守恒定律

1．角动量定理

质点系受到的所有外力对确定转轴的力矩在一段时间内的积累（冲量矩）等于质点系相对于同一转轴的总角动量的变化，这称为质点系的角动量定理。

2．角动量守恒定律

若对于某转轴，质点系所受的外力矩之和为零，则质点系相对于该转轴的角动量守恒，即

【例题解析】

例1 如图所示，质量为m的子弹以水平速度v0击中并穿过质量分别为m1、m2的两木块，所用时间分别为(t1和(t2。开始两木块挨在一起静止在光滑水平地面上，已知子弹在两木块中所受阻力恒为f，求子弹穿过两木块后，m1、m2及子弹的速度各为多少?

/

解析：以子弹和两木块为研究对象，系统在水平方向的总动量守恒，设子弹穿过两木块后，m1、m2、子弹的速度分别为v1、v2、v3.由动量守恒定律有：mv0=m1v1+m2v2+mv3…①，

以子弹为研究对象，子弹穿过两木块时受到阻力f的作用，作用时间为△t1+△t2，初速度为v0，末速度为v3，由动量定理可得 -f(△t1+△t2)=mv3-mv0，解得
…②

子弹穿过m1时，所用时间为△t1，m1和m2一起运动.以m1和m2整体为对象，初态动量为零、末态动量为子弹刚好穿过m1时的动量(m1+m2)v1，由动量定理有f△t1=(m1+m2)v1，

解得 v1= f△t1/(m1+m2)…③，将②、③两式代入①式解得

例2 如图所示，水枪以出口速率v0竖直向上喷水，并托住一质量为m的小球，已知水的密度为r，喷口直径为d，试求小球距喷口的高度h。设想水碰到小球后以原速反弹，并且水能全部喷到球面上。

/

解析：以Δt时间内与小球发生作用的水为研究对象：这些水的质量跟Δt时间内从枪口喷出的水的质量相同，Δm=Sv0Δtρ，这些水与小球作用时的速度为v，动量变化为Δp=2Δmv=2ρSvv0Δt，这些水对小球的反作用力F=Δp/Δt=2ρSvv0.由于小球处于平衡状态，则：F=mg，由此可得v=mg/2ρSv0，又由机械能守恒可知小球距水枪口的高度h=(v02-v2)/2g，将上式代入该式得：

例3 如图所示，长为L的细绳吊着一个质量为m的小球，P为一光滑的小钉子，与悬挂点O同在一水平面上，且PO=L/2，要使小球能到达跟P 钉在同一竖直线上的最高点B，则给小球水平冲量为多少？

/

解析：在最高点，vB最小为

由A到B过程中，机械能守恒有：

对球，由动量定理得：I=mvA

解得：
，故：

例4 如图所示，质量为M的玩具小汽车拉着质量为m的小拖车在水平地面上以速度v匀速直线前进，某时刻，突然拉拖车的线断了，而小汽车的牵引力不变。那么，在小拖车静止的瞬间，小汽车的速度为____________。(设汽车和拖车与地面间摩擦系数相同)

/

解析：由于汽车和拖车组成的系统所受的牵引力和阻力始终是一对平衡力，故系统的动量守恒．由(M+m)v=Mv′，

例5 如图所示，一细绳跨过一光滑的定滑轮，两端分别挂上质量为M和m的物体，且M>m，M静止于桌面上。当m自由下落h后绳子才被拉紧，求：

(1)此时m的速度；

(2)绳拉紧的瞬间，两物体的速度；

(3)M上升的最大高度。(m下降过程中不会碰地)

/

解析：绳子在拉紧而使两物体碰撞时，绳子的弹力大小是变化的，时间是极短而不好确定的，因此无法用牛顿运动定律求解，必须应用动量定理解题．整个问题可分三个阶段来讨论

第一阶段：m自由落下h距离使绳子拉紧，此时m的速度为

　　

第二阶段：当绳子拉紧时，m和M除受到重力外，还受到绳子的弹力F，经过极短时间Δt后，m和M才以相同的速度 v′分别作向上向下的运动．我们应分别对m和M应用动量定理，皆选定向上的方向为正向．对m物体应用动量定理：　
　

　　对M物体也应用动量定理：　
　

　　由于弹力
，且重力mg、Mg和弹力F1、F2相比较，可以忽略，则由上两式可得

　　
此即绳子被拉紧时两物体的速度。

第三阶段：绳子被拉紧后，m和M分别作向下和向上的加速运动，其加速度可由牛顿第二定律求出：

　　对隔离体M ： Mg－F＝Ma

　　对隔离体m F－mg＝ma

　　故

　　当M以初速度v′上升，其加速度a的方向与速度方向相反，即作匀减速运动，上升到最大高度H时速度为零，即

　　 //

例6 如图所示，在水平轨道上放置一门质量为M的炮车，发射的炮弹质量为m，炮车与轨道间摩擦不计。当炮身与水平方向成θ角发射炮弹时，炮弹相对炮身的出口速度为v0，求炮车后退的速度为多大?

/

解析：炮车与轨道间的摩擦不计，因此满足水平方向上的动量守恒，炮弹相对于炮身的出口速度为v0,那么在同一惯性参照系来说：炮车后退速度为v，炮弹的速度为v0cosθ-v，则

，可得出炮车后退速度为

例7 停在静水中的船质量为180kg，长12m，船头连有一块长木板且船头紧靠岸边，不计水的阻力和木板跟岸间的摩擦，要使质量为60kg的人能安全地从船尾走到船头并继续从木板走到岸上，木板至少应多长?

解析：首先因为不计水的阻力和摩擦，所以在水平方向上，整个系统的动量守恒，以岸边为参照系：

，可知人和船的速率之比，人实际到达岸边所走过的路程即船长，人相对于船走过的距离为船长+板长，

，由此可知木板至少长4m。本题也可以根据质点系运动的问题来解决。

例8 质量为m、半径为R的小球，放在半径为2R、质量为2m的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球从图中所示位置无初速沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为多少?

/

解析：本题可以通过质点系相关知识解决，因为质心系在水平方向上合外力为零，因此质心的位置不会变化。开始的时候质心在O点，可以利用球质心的公式求出，与小圆心A大圆心B距离比值为2：1即距离B R的距离，当下落的时候因为水平方向上系统动量守恒，故质心在水平方向上不会有位移。故当下落到底的时候大圆的圆心B′会与O重合，A' B' O在同一直线上，大圆位移为R。

/

例9 在光滑水平面上自左向右依次放置着质量为(2n-1)m (n=1、2、3……)的一系列物体，另有一质量为m的物体A以水平向右的速度v运动，并先后与物体1、2、3……依次碰撞，且每次碰撞后都粘在一起，则在碰撞多少次后，A物体的动量变为原来的。

解析：质量为m的物体依次与质量为m、2m、4m……2n-1m的物体相碰后均黏在一起，由动量守恒定律得：mv=2mv1=4mv2=…=2nmvn,

所以，第n次碰后物体的速度为

第n次碰后A物体剩余的动量为

当n＝5时，A剩余的动量是原来的

答案：5

例10 一列火车由n节质量相同的车厢组成，原来各节车厢互相分离，间距均为s。第一节车厢以速度v向第二节车厢运动，最后全部车厢联成一体，忽略铁轨摩擦，问经过多少时间，末节车厢开始运动？

解析：设第1节车厢撞上第2节车厢所用时间为t1，第2节车厢与第3节车厢相撞所需时间为t2，依次为t3，t4，…第n-1节车厢与第n节车厢相撞所需时间为tn-1，根据动量守恒与分配的定律可得：

碰上第二节后，mv=2mv1 碰上第三节后，mv=2mv1=3mv2，…，碰上第n-1节后，mv=nvn-2

可知：
，
，…，

，
，…，

所以，末节车厢开始运动的时间为

【要点归纳】

一、动量定理

1.公式：Ft=mvt-mv0

2.动量定理对微观现象和高速运动也适用。

3.研究对象可以是单一物体，也可以是物体系统。

4.动量定理选取的过程可以包含几个不同性质的分过程。

5.注意动量定理是矢量表示式。

对一维问题，可以先规定正方向，再确定各个力冲量的正负与初、末动量的正负。

二、动量守恒定律

1.系统动量守恒的条件，系统不受外力或所受外力的合力为零。

2.如果合外力不为零，但某一方向的分量为零，则系统总动量在这个方向上的分量是守恒的。

3.动量守恒关系应是矢量表示式，但中学阶段一般只考虑一维情况，故在规定正方向后可转化为代数运算。

4.公式中的各个速度必须相对于同一参照系(一般对地)，并指同一时刻的瞬时速度。

5.动量守恒定律也适用于接近光速运动的微观粒子的相互作用。

【模拟训练】

1．(2007复旦)如图质量分别为ml和m2的物体A、B静止在光滑水平板上，其间有一被压缩的轻弹簧，长板可以绕O轴转动，另一端用细绳悬于C点。现将弹簧释放，在A、B分别滑向板端的过程中，细绳上的拉力( )。

A．增大 B．不变

C．减小 D．缺条件，无法确定

/

2．(2006同济)如果物体在相同时间内受到的冲量相等，则此( )。

A．物体可能做上抛运动 B．物体可能做平抛运动

C．物体可能做匀速圆周运动 D．物体可能做简谐运动

3．(2006复旦)水平面上一质量为m的物体，在水平推力F的作用下由静止开始运动。经时间2Δt，撤去F，又经时间3Δt，物体停止运动。则该物体与水平面之间的动摩擦系数为( )。

A．2F/mg B．F/mg C．2F/5mg D．F/5mg

4.一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷人泥潭中。若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ， 则( )

A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量

B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小

C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零

D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零

5.如图所示， 质量为M的小车在光滑的水平面上以速度v0向右匀速运动，一质量为m的小球(m

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