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函数

一、主要知识点

1）函数的概念、定义域、值域、函数相等

2）入射、满射、双射

3）逆函数、

4）复合函数

5）恒等函数

二、重点

1）函数的概念

2）入射、满射、双射

3）逆函数与复合函数

三、难点

1）入射与满射的判断

2）逆函数

四、疑难解析

1）入射与满射的判断

判断一个函数是否是入射与满射的，根据其定义来判断。对于有限集合上的函数，首先求其值域，如果值域中的元素个数与定义域中的元素个数相等，则为双射，否则可能是满射的，但绝对不可能是双射的。对于，无限集上的函数，按其定义来判断。

2）逆函数

每个关系都有逆关系，而每个函数不一定都有逆函数，只有一个函数是双射时才有逆函数，所有在求一个函数的逆函数时，首先判断其是否为双射，如果是求其逆，否则不存在逆函数。

五、例题

1）给定集合X={x1,x2,x3}，Y={y1, y2}，判断下列关系是否为函数：

F1 = { , , }

邋 F2 = { , }

解：F1是函数，F2不是函数，因为对应于x1存在y1和y2满足x1 F2 y1 和x1 F2 y2,与函数定义矛盾。

2）设A＝{a,b},B＝{1,2},A×B＝{,,,}，则从A到B有多少个不同的函数？

解：从A到B的不同的关系有24＝16个。分别如下：

R0＝Φ；邋R1＝{}；邋R2＝{}；邋R3＝{}；邋R4＝{}；

R5＝{,}；邋R6＝{,}；邋R7＝{,}；邋

R8＝{,}；邋R9＝{,}；邋R10＝{,}；

R11＝{,,}；邋R12＝{,,}；邋

R13＝{,,}；邋R14＝{,,}；

R15＝{,,,}。 邋

从A到B的不同的函数仅有22＝4个。分别如下：

邋 f1＝{,}；邋f2＝{,}；

邋 f3＝{,}；邋f4＝{,}。

3）判断下面函数是否为单某某, 满射, 双射的, 为什么?

(1) f：R→R，f(x) =-x2+2x-1

(2) f：Z+→R，f(x) = lnx，Z+为正整数集

(3) f：R→Z，f(x) = (x(

(4) f：R→R，f(x) = 2x+1

(5) f：R+→R+，f(x) = (x2+1)/x，其中R+为正实数集

解：

(1) f：R→R，f(x)是开口向下的抛物线，非单调函数，并且在x = 1点取得极大值0，它既不是单某某，也不是满射的；

(2) f：Z+→R，f(x)是单调上升，单某某，但不是满射的，因为ranf ={ln1, ln2, …}(R；

(3) f：R→Z，f(x)是满射的，不是单某某的，例如：f(1.5) = f(1.2) = 1；

(4) f：R→R，f(x) = 2x+1是双射的；

(5) f；R+→R+，f(x) = (x2+1)/x不是单某某的，也不是满射的。

当x→0+时，f(x)→+∞；

当x→+∞时，f(x)→+∞；

在x = 1处函数f(x)取得极小值f(1) = 2，f(2) = f(1/2) = 2. 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 b}，
，且
={,,}，则
是 （入射、满射、双射）函数。

4）设复合函数g
f是从A到C的函数，如果g
f是满射的，那么_____必是满射的。

5）设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={,,}，g={,,}，则f
g=________________，g
f=________________。

3、证明题

1)设f：X→Y，g：Y→Z，那么

(1) 若g
f是入射的，则f入射的；

(2)若g
f是满射的，则g是满射的；

(3)若g
f是双射的，则f是入射的，g是满射的。

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