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选做题

1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若P为C上一动点，求P到l的距离的取值范围.

【详解】（1）
，
，

又
，

曲线
的普通方程为
.

（2）设
到
的距离为
.

令
得直线
的直角坐标方程为
，

设
且
，

则
，其中
，

的取值范围是
.

2．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程
（
）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ）解不等式
．

/

【详解】（1）函数
，

作出函数
的图像如图：

/

（2）令
，
，

将函数
的图向左平移1个单位，可得函数
的图像，如图所示，

/

由
，解得
，

不等式
的解集为
．

4．已知
，函数
的最小值为3．

(1)求
的值；

(2)求证：
．

【来源】**_*学2023届高三上学期期末监测考试数学（理）试题

【详解】（1）因为
,

当且仅当
时,等号成立,

又
,所以
.

（2）由（1）知
,又
,

所以
,

当且仅当
，联立
，即
时等号成立,

所以
,

则

即

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