专题八 导数4（教师）
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专题八 导数
同构式与导数
学习目标
1.理解同构式的概念；2.理解函数的单调性及应用；
3.掌握指对函数同构式的转变；4.掌握同构式的应用。
知识要点梳理
同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得。
指对变形式：（1）. （核心公式）
(2). (3).
(4). (5).
2.指对同构式：（母函数）.
还有常见同构式:
与型：，；
与型：，.
(1). (2). (3).
(4). (5).
3.注意：一个概念:同构式 ； 一个核心:；
一个方法:指对式分离， 构造同构式；一个提醒:注意同构后的整体变量范围。
引例
自从20年山东卷21题的第二问出现了同构解法之后，***用同构法解决的题目层出不穷，颇有流行之势。我们先来看一下题目。
题目：（2020.山东卷21题）已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
若，求a取值范围。
第一问就不再多说 ，我们来看一下第二问：
（构造同构式）由，即，
令函数，得到，故在R上单调递增.
又
所以，即
从而可得：
这种方法看起来非常的简洁，只需构造一个简单函数即可。
典型例题
例1．例1.若则( )
A. B.
C. D.
解：A,B:
C,D:,
∵
∴
例2.对任意不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
解：,
;设,
,
∴
当时恒成立，∴只要考虑的情况
∴ ,
设 ,
∴;
∴
例3.已知不等式对于恒成立，则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.
解：
设 ∴
,∴在
∵
,
∴ ，
设,
∴在,
已知实数满足求的值.
解：
，
∴，
设函数 ,则：
∵，∴
∵
∴的定义域为：
∴，
例5.设实数若对任意的，不等式恒成立，求的最小值。
解：
,
设，∴
∵∴
当时，当时，
若恒成立
∴只需考虑的情况
∴可设的定义域为
∴
∴在上，在
∴ ,∴
例6.函数若关于x不等式则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：,
设,
==
∵在R上+,∴
设
∴
∴,即,∴
例7.已知函数，若存在使得成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
解：
设 ,
∵,
∵,
∴的定义域为 ,
（在）
∴在 ；∴
,设
，令
∴;∴
例8.已知函数(其中为自然对数的底数)
(1)求函数的极值:
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围。
解（1）：
1).当时，无极值
2).当时，
无极小值，有极大值，
3).当时， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ：
由移项得：
即，两边同时加（）得
即
设，则，所以单某某
所以，即
设，则，所以在单某某，在单某某，
所以，所以.
3.（XX中学校2021年高三上学期期末复习题 （一）.16）
已知，若对于任意的,不等式恒成立，则的最小值
解析：由于，则有
即，
令函数，易得在递增。
从而有恒成立 。
所以，易得的最小值等于
4.(2020年12月30，T8联考16)已知函数若恒成立，则实数的取值范围
答案：
5.已知函数若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围
答案：
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