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第十八章 平行四边形

18.1.1 平行四边形的性质

第2课时 平行四边形的对角线的特征

学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；

2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.

重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.



一、知识回顾

1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？

平行四边形对边互相___________;

平行四边形对边__________;

平行四边形对角__________.



要点探究

探究点1：平行四边形的对角线的性质

猜一猜 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系?

证一证

已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.

求证：OA=OC，OB=OD.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD___BC，AD___BC,

∴ ∠1___∠2，∠3___∠4,

∴ △AOD___△COB（______）,

∴ OA____OC，OB____OD.

要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________.

应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.

典例精析

例1如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周某某5cm，求这个平行四边形各边的长．

方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．

变式题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．

例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.

变式题请判断下列图中，OE=OF还成立么？

方法总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.

针对训练

1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为 （ ）

A.26 B.34 C.40 D.52

2.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是 （ ）

A.9 B.18 C.27 D.36

3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．

探究点2：平行四边形的面积

典例精析

例3 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.

方法总结:已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.

例4平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？

方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.

例5如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？

变式题如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？

方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.

针对训练

1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．

2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？

二、课堂小结



1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是

（ ）

A. 10 B. 14 C. 20 D. 22

2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （　　）

A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD

C．AO=CO D．AC⊥BD

在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )

A. 24

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