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桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷

2017—2018 学年第 1 学期 课号 ***等

课程名称 高等数学AI （A卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业） 2017级

考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名

题 号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

成绩



满 分

20

15

24

14

16

5

6







100



得 分

























评卷人



























一、填空题（每小题4分，共20分）

1．函数
的定义域为 .

2．函数
在点
可导是
在点
可微的 条件（在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确地填入）.

3．

（在下划线中填入适当的常数）.

4．微分方程
的通解为 .

5．已知
，则
= .

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．下列极限不正确的是（ ）.

A.
B.

C.

lim

??→∞

0.

999?9

??个

=1

D.

2．当
时，（ ）是比
高阶的无穷小量

A.
B.
C.
D.

3．设
，则在区间
内（ ）

A.
单调增加，曲线
为凹的

B.
单调减少，曲线
为凹的

C.
单调增加，曲线
为凸的

D.
单调减少，曲线
为凸的

4．下列反常积分收敛的是（ ）.

A.
B.
C.
D.

5．已知
是微分方程
的两个特解，则下列正确的是（ ）

A.
是方程
的解

B.
是方程
的解

C.
是方程
的解

D.
是方程
的解

三、计算题（每小题8分，共24分）

1．已知
，求

2．计算极限

3．求由方程
确定的隐函数的导数

四、计算题（每小题7分，共14分）

1．
2．

五、应用题（每小题8分，共16分）

1．计算由
和
所围成的图形的面积.

2．求曲线
在参数
处的切线和法线方程.

六、（共5分）利用函数
的极值来确定数列
的最大项，这里
为自然对数的底.

七、证明题（每小题3分，共6分）

1．已知
，证明函数
在
处是连续的和可导的.

2．设函数
在
上有二阶导数，且
，又

，

证明在
内至少存在一点
，使得
.

参考答案与评分标准

一、填空题（每小题4分，共20分）

1．(?3,3]; 2．充分必要; 3．

1

2

; 4．??=

??

1

??

?2??

+

??

2

??

??

; 5．1.

二、选择题（每小题3分，共15分）: ACADD

三、计算题（每小题8分，共24分）

1．已知
，求
.

解：

??

′

=2

??

2??

sin??+

??

2??

cos??=

??

2??

(2sin??+cos??),

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??

+

???1

2

??

′

??

，易知??

1

=

??

′

1

=0,

由泰勒公式，

??

??

=??

1

+

??

′

1

???1

+

??

′′

??

2!

(???1)

2

=

??

′′

??

2!

(???1)

2

,

其中 ??介于??与1之间（与有??关）,

特别地，取??=0，则存在??∈(0,1)，使得

??

0

=

??

′′

??

2!

(0?1)

2

=

??

′′

??

2

,

但由已知我们有??

0

=0，从而

??

′′

??

2

=0, 即

??

′′

??

=0.

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