数学题目及解析
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1.“将军饮马问题”
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2.究其本质，巩固模型。
如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是( )
A F和C B F和E C D和C D D和E
评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。根据模型易得：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。
3.一“模”多变，触类旁通。
通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。
模型变式------?两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题
变式①：“模型”在三角形中
如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。
评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。也可用解法（二）图形，先利用模型，再根据“点到直线的距离最短”并结合勾股定理来考虑解题方案。由此看来，有了“模型”真是妙不可言，它能很好的帮助我们扫除思维的障碍，为进一步顺利的解题提供了保障。
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变式②：“模型”在四边形中
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。
评析：此题符合模型“两定点，一动点”情形，根据模型，容易作出图形并求解。
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变式③：“模型”在四边形中
如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。
评析：题目符合模型,解答时可直接应用模型。
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变式④：“模型”在四边形中
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。
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评析：题目符合模型,解答时可直接应用模型。
变式⑤：“模型”在圆形中
如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()
A2B?C1D2
评析：根据模型和圆的对称性,应用模型容易得到答案。
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变式⑥：“模型”在反比例函数图象中
如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。
评析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键。要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，可以联想我们建立的“模型”作出图形，明白了最小的内涵，问题 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 在x轴负半轴上，易某某OA的长，即可得到OB的长，从而求出点B的坐标B（㧟2，0）．
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15．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（㧟1，0）、（3，0）（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
①求抛物线的解析式；
②求当AD+CD最小时点D的坐标，并求出AD+CD的最小值．
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【解析】（1）利用待定系数法即可求函数解析式y＝㧟x2+2x+3；
（2）抛物线的对称轴是：x＝1，则A关于x＝1的对称点坐标是B．
∵B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），∴直线BC的解析式为y＝㧟x+3，
∵点D在直线x＝1上，点D的坐标为（1，2）．
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