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钉子板上的多边形

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”

教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子

数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体

会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展

观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇

妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学过程：

一：创设情境，引出问题

出示一个钉子板实物，并用橡皮筋围了几个多边形。

问题1：看到这个，你猜猜我们今天要研究什么？————钉子板上的多边形

师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1cm2

出示课件：钉子板上的多边形，共8个不同的多边形。

问题2：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？

生：多边形的面积、面积的大小和什么有关？······

问题3：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因素有关？

生：钉子数、多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数······

师小结：这些多边形的面积是否和以上的各个因素有关呢？下面我们就来研究下这些图形。

二：自主研究，得出猜想

问题1：你想怎样研究？

生：画图、计算、数······

师：很好，下面我们就来研究影响多边形面积的因素，我们从最简单的一组图形开始。

研究1：独立完成“钉子板上的多边形”研究单1

1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1；

2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程；——学生自己介绍表格中数据的由来。

3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？

——同桌互相说一说

——个别的汇报

4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？

——S=n÷2

小结：根据学生的研究和汇报，初步得出多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.

三、质疑验证，归纳结论

S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？应该怎么办？————验证

完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。

出示课件上⑦⑧两个图形，再次验证。

通过两次的验证，你有什么发现？——发现S=n÷2在其它的多边形中不成立。

思考：为什么呢？

引导学生再次观察①②③④四个图形，你有什么发现？同桌互相说一说，再个

别发表看法。————得出：①②③④四个多边形内部都只有一个点。

再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？

谁能完整的把刚才的规律说一说？

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为： 当a=1时，S=n÷2

四、合作探究，得出规律

引入：多边形内有一枚钉子的情况，同学们已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们想研究什么呢？——————多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。

合作交流,完成研究单1的第二题。

首先独立画一个内部两个点的多边形，得出S和n；

同桌交流，完善表格。

观察表格中的S与n的 值，再互相说一说，你有什么发现？

个别同学汇报发现，其他同学根据自己的图形验证发现是否正确。

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为： 当a=2时，S=n÷2+1

五、推想、验证，得出规律

引入：当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2+1

猜想：当a=3、4、5······时，S与n之间有什么关系呢？

学生猜想：当a=3时，S=n÷2+2

当a=4时，S=n÷2+3

学生验证：分组研究，分成4人小组

1、组内确定研究主题：a=3或者a=4.

2、三人每人分别画一个，并且得出S与n的值，第四个人汇总并汇报小组的研究成果。

3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？

小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律

当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2+1

当a=3时，S=n÷2+2

当a=4时，S=n÷2+3

请你说一说

当a=5时，S=

······

当a=10时，S=

·······

问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？

—————— S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成体系

出示：钉子板上的多边形实物图形，观察这些多边形有什么特点？

——内部的钉子数为0. 即a=0

问题：当a=0时，上面的规律还成立吗？你是怎么想的？说一说你的想法和结论。

七：总结收获，形成方法。

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。????

回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？

追问：还有什么疑问吗？

????小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

“钉子板上的多边形”研究单1

我的发现：

我的发现：

《钉子板上的多边形》反思

本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。

我是这样安排内容的：第一课时四大板块：第一板块，激趣生疑，直观感知多边形面积既和边上钉子数有关也和形内钉子数有关。第二板块，学生探究多边形有一个钉子的情况，教师是半扶半放的，学生形成了画一画图形、数一数面积、说一说发现的方法结构。第三板块，学生独立经历钉子板内有2枚钉子的情况，这是个巩固运用结构进行探究的过程。第四板块，让学生开放性的选择当n=3枚、4枚钉子时，进行合作研究。学生已有研究的方法和结构，速度也快了很多。然后在此基础上推导规律就显得水到渠成了。就像霍姆林斯基说：“儿童就其天性来讲，是富有探求精神的探索者，是世界的发现者”，所以这节课学生始终兴趣浓厚，他们就像个小科学家一般，能独立经历整个规律探究的过程，自觉提出猜想，举例验证，得到结论，这对于他们今后的学习也是非常有益的。

当然，这节课也有许多我需要反思的：

1、学生对于方法结构认识不深。可以在研究多边形内有1个钉子的情况后，让学生回顾一下，刚刚我们是怎么来研究的？有了这样的方法结构，自然可以迁移到研究多边形内有多个钉子的情况。

2、多边形内有一枚钉子的情况，学生不明白为何要这样研究，大部分都是老师强加的。所以可以多添一个环节，学生发现规律后，举例验证，是否所有的情况都符合。自然这时有学生会举出反例，通过对比，就可以发现这一规律仅仅在形内有一个钉子的情况下成立。然后再放手让学生去研究形内有两个、三个钉子的情况。从发现规律到发现规律成立的局限性，这一过程既培养了学生思维的严谨性也培养了学生科学研究的态度。

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