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浅谈线性方程组与矩阵和向量的关系

人们通过研究线性方程组解的问题抽象出了矩阵的概念，对于一个m个方程n个未知数的线性方程组
，保持线性方程组中的每个变量前面的系数的大小与相对位置关系不变，构成一个m行n+1列的数表，我们将这个数表记作
，称这个数表为一个m*n+1矩阵，我们称这个矩阵为线性方程组的增广矩阵，如果我们将这个矩阵的最后一列去掉，从而构成一个m行n列的数表
，这个数表构成一个m*n矩阵，叫做这个线性方程组的系数矩阵，我们将这个线性方程组的系数矩阵记作A，我们将方程的未知数单独拿出来，构成一个n行1列的矩阵，记作X=
，同样地将线性方程组右边的一列也单独拿出来构成一个m行1列的矩阵，记作b=
。为了研究问题的方便，数学家定义了矩阵的乘法，将线性方程组的求解问题转化成求解矩阵方程的问题，通过矩阵的乘法，我们可以将线性方程组等价的写成一个矩阵方程Ax=b。在代数方程里面，我们求解一个形如ax=b的代数方程，如果a不等于0，我们将代数方程的两边同乘1/a,这种解方程的方法给了我们一个启迪，那就是对于一个矩阵方程Ax=b，我们能不能像求解代数方程一样两边同乘一个矩阵，将方程左边的矩阵A消掉进而解出矩阵方程呢？对于一般的m个方程n个未知数的线性方程组（m不等于n），它所对应的系数矩阵是一个m*n型的矩阵，这样的矩阵A我们是没法通过寻找一个矩阵与其进行相乘从而消掉它的，而对于一个特殊的n行n列的矩阵A，数学家定义了逆矩阵的概念，将矩阵A的逆矩阵记作A^(-1),这个概念与数字里面的倒数是类似的。我们知道0是没有倒数的，而除了0之外的所有数都有它对应的倒数，并且倒数是唯一确定的。同样，在矩阵里面，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，换句话说也就是并不是所有的矩阵都是可逆的。那么我们就面临一个问题，到底什么样的矩阵才是可逆的呢？讨论这个问题之前我们应该先定义逆矩阵的定义形式，在数字里面，一个数与其倒数相乘之积为1，到了研究矩阵时，我们定义矩阵A*A^(-1)=E,等式右边的符号E代表一个n阶单位阵，单位阵在矩阵乘法里面的作用和数字1在数字相乘里面的作用是相同的，也就是说一个矩阵与单位阵相乘之后仍是其自身。在确定是逆矩阵的定义式之后，我们需要解决的一个首要问题是如何求解逆矩阵。数学家为了研究这种问题，巧妙的构造了一个矩阵A*，记作A*=
，其中Aij为系数矩阵对应的行列式中元素aij所对应的代数余某某。数学家称这个矩阵为伴随矩阵，这个矩阵构造的十分巧妙，恰好满足AA*=|A|E,如果|A|不等于0，我们可以将等式两边同乘1/|A|，于是乎，我们就得到等式A(A*/|A|)=E，我们发现，通过这种方法，我们求出了矩阵A的逆矩阵，它恰好就是A*/|A|,这个方法成立的前提是A的行列式|A|不等于0，那么一个矩阵可逆和这个矩阵的行列式之前是否存在着一定的关系呢？我们由等式AA^（-1）=E知，等式的左右两边都是一个矩阵，那么这两个矩阵相等，它所对应的行列式也一定相等，于是乎我们对等式两边同时取行列式，得|AA^(-1)|=1,又|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|,所以有|A||A^(-1)|=1，若矩阵A的行列式为0，则前面的等式不可能成立，于是我们知道矩阵A可逆，那么矩阵A的行列式一定不为0。反过来，如果矩阵的行列式不为0，那么矩阵A一定可逆吗？答案是一定的，因为通过前面求逆矩阵的方法我们知道，如果矩阵A的行列式不为0，那么我们可以将等式AA*=|A|E两边同乘1/|A|，得到A^(-1)=A*/|A|,于是我们得到一个非常重要的结论，那就是矩阵可逆的充分必要 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 不存在矛盾，也不能保证每个未知数都能被唯一确定，因此，该线性方程组有无穷多个解，如果存在两个相互矛盾的约束条件的话，线性方程组同样是无解的。在m请点击下方选择您需要的文档下载。

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