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浅谈线性方程组与矩阵和向量的关系

人们通过研究线性方程组解的问题抽象出了矩阵的概念，对于一个m个方程n个未知数的线性方程组
，保持线性方程组中的每个变量前面的系数的大小与相对位置关系不变，构成一个m行n+1列的数表，我们将这个数表记作
，称这个数表为一个m*n+1矩阵，我们称这个矩阵为线性方程组的增广矩阵，如果我们将这个矩阵的最后一列去掉，从而构成一个m行n列的数表
，这个数表构成一个m*n矩阵，叫做这个线性方程组的系数矩阵，我们将这个线性方程组的系数矩阵记作A，我们将方程的未知数单独拿出来，构成一个n行1列的矩阵，记作X=
，同样地将线性方程组右边的一列也单独拿出来构成一个m行1列的矩阵，记作b=
。为了研究问题的方便，数学家定义了矩阵的乘法，将线性方程组的求解问题转化成求解矩阵方程的问题，通过矩阵的乘法，我们可以将线性方程组等价的写成一个矩阵方程Ax=b。在代数方程里面，我们求解一个形如ax=b的代数方程，如果a不等于0，我们将代数方程的两边同乘1/a,这种解方程的方法给了我们一个启迪，那就是对于一个矩阵方程Ax=b，我们能不能像求解代数方程一样两边同乘一个矩阵，将方程左边的矩阵A消掉进而解出矩阵方程呢？对于一般的m个方程n个未知数的线性方程组（m不等于n），它所对应的系数矩阵是一个m*n型的矩阵，这样的矩阵A我们是没法通过寻找一个矩阵与其进行相乘从而消掉它的，而对于一个特殊的n行n列的矩阵A，数学家定义了逆矩阵的概念，将矩阵A的逆矩阵记作A^(-1),这个概念与数字里面的倒数是类似的。我们知道0是没有倒数的，而除了0之外的所有数都有它对应的倒数，并且倒数是唯一确定的。同样，在矩阵里面，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，换句话说也就是并不是所有的矩阵都是可逆的。那么我们就面临一个问题，到底什么样的矩阵才是可逆的呢？讨论这个问题之前我们应该先定义逆矩阵的定义形式，在数字里面，一个数与其倒数相乘之积为1，到了研究矩阵时，我们定义矩阵A*A^(-1)=E,等式右边的符号E代表一个n阶单位阵，单位阵在矩阵乘法里面的作用和数字1在数字相乘里面的作用是相同的，也就是说一个矩阵与单位阵相乘之后仍是其自身。在确定是逆矩阵的定义式之后，我们需要解决的一个首要问题是如何求解逆矩阵。数学家为了研究这种问题，巧妙的构造了一个矩阵A*，记作A*=
，其中Aij为系数矩阵对应的行列式中元素aij所对应的代数余某某。数学家称这个矩阵为伴随矩阵，这个矩阵构造的十分巧妙，恰好满足AA*=|A|E,如果|A|不等于0，我们可以将等式两边同乘1/|A|，于是乎，我们就得到等式A(A*/|A|)=E，我们发现，通过这种方法，我们求出了矩阵A的逆矩阵，它恰好就是A*/|A|,这个方法成立的前提是A的行列式|A|不等于0，那么一个矩阵可逆和这个矩阵的行列式之前是否存在着一定的关系呢？我们由等式AA^（-1）=E知，等式的左右两边都是一个矩阵，那么这两个矩阵相等，它所对应的行列式也一定相等，于是乎我们对等式两边同时取行列式，得|AA^(-1)|=1,又|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|,所以有|A||A^(-1)|=1，若矩阵A的行列式为0，则前面的等式不可能成立，于是我们知道矩阵A可逆，那么矩阵A的行列式一定不为0。反过来，如果矩阵的行列式不为0，那么矩阵A一定可逆吗？答案是一定的，因为通过前面求逆矩阵的方法我们知道，如果矩阵A的行列式不为0，那么我们可以将等式AA*=|A|E两边同乘1/|A|，得到A^(-1)=A*/|A|,于是我们得到一个非常重要的结论，那就是矩阵可逆的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0，进而我们就回答了前面的问题，究竟一个什么样的矩阵是可逆的呢？答案就是行列式不为0的矩阵是可逆的。那么我们在求解矩阵方程Ax=b时，就可以通过等式两边同时左某某A^(-1),得到x=A^(-1)b,即得到矩阵方程对应的线性方程组的解。这里我们讨论的仅仅只是n个方程n个未知数的线性方程组的求解问题，并且要求这种线性方程组所对应的n阶矩阵A是可逆的。前面我们说过，数学家将这种特殊的方形矩阵定义了逆矩阵的概念，那么为什么对于一个一般的m行n列的矩阵（m不等于n），数学家为什么没有定义可逆矩阵的概念呢？原因就是，对于一个一般的m行n列的矩阵（m不等于n），如果定义它的逆矩阵，那么它所对应的逆矩阵是不唯一的，于是我们左右两边同左某某这个矩阵所得到的解x是没有意义的，所以在定义逆矩阵时规定只有方阵才有逆矩阵。对于一个n阶的矩阵A，我们已经知道了一种求解逆矩阵的方法，即A^(-1)=A*/|A|，我们称之为定义法。但对于一个阶数较高的矩阵，求它的伴随矩阵是相当困难的，于是我们不得不另辟蹊径，寻找其他的求解逆矩阵的方法。我们称之为初等变换法，关于初等变换法的细节将在后面讨论。

对于一个特殊的n个方程n个未知数的线性方程组，如果这个线性方程组是可逆的，我们可以通过左某某逆矩阵的方法求解这个线性方程组，除此之外我们还可以试用克莱姆法则来求解这个线性方程组，在学习行列式时，我们知道试用克莱姆法则的前提条件是行列式不为0，这与矩阵A是可逆的条件是等价的，从而进一步加深对矩阵可逆与矩阵对应的行列式不为0之间的等价关系的理解，从本质上讲这两种方法是等价的，并且通过这两种方法所确定的线性方程组的解是唯一的。即矩阵A如果可逆，那么矩阵A所确定的线性方程组的解是唯一确定的。换句话说，如果矩阵A所对应的行列式不为0，那么矩阵A所确定的线性方程组的解就是唯一确定的。反过来，能不能由线性方程组只有一组解得出矩阵A的行列式不为0或者矩阵A是可逆的呢？答案是一定的，我们可以说矩阵A可逆是矩阵A所对应的线性方程组只有唯一解的充分必要条件。先证明充分性，这个问题等价为一个矩阵的逆矩阵是不是唯一的。下面我们将采用反证法证明一个矩阵如果可逆，那么这个矩阵的逆矩阵是唯一确定的。假设矩阵A的逆矩阵是B满足AB=E，并且矩阵A还有另外一个逆矩阵是C满足AC=E，且C不等于B，则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,与假设矛盾，固一个矩阵的逆矩阵是唯一的，进而回答了刚才的问题，如果一个矩阵是可逆的那么这个矩阵所对应的线性方程组的解是唯一确定的。要想证明必要性我们需要先引入矩阵初等变换的概念，对于任意的一个m行n列的矩阵A，我们在求解矩阵A所对应的线性方程组时，消元法是十分自然的，我们通过对线性方程组的加减消元过程就对应着矩阵的三种初等变换，将任意两个方程对调对应着矩阵的互换初等变换，将其中一个方程乘以k倍对应着矩阵中的倍乘初等变换，将其中一个方程乘以k倍加到另一个方程上对应着矩阵的倍加初等变换，初等变换正是高斯消元法在求解线性方程组问题上对矩阵进行的同解变换，这也意味着矩阵的初等变换不改变矩阵所对应的线性方程组的解。通过初等变换我们将增广矩阵化简成为一个行阶梯形矩阵
，继续对行阶梯形矩阵实施行的初等变换将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵，通过行最简型矩阵很容易看出该线性方程组的解的情况，如果在行最简形矩阵里面出现形如
（c为任意常数，但c不等于0），那么该线性方程组是无解的。如果没有出现这样的一行，那么该线性方程组是有解的，如果非0行的数目恰好和未知数的个数是相等的，那么该线性方程组 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 不存在矛盾，也不能保证每个未知数都能被唯一确定，因此，该线性方程组有无穷多个解，如果存在两个相互矛盾的约束条件的话，线性方程组同样是无解的。在m请点击下方选择您需要的文档下载。

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