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多元回归模型

一、为什么要引入多元回归

影响因变量的自变量不只一个

例子1、

的解释：在资本投入不变的情况下，劳动投入变动对经济增长的影响。

的解释：在劳动投入不变的情况下，资本投入变动对经济增长的影响。

例子2、

的解释： 在国民收入不变的情况下，汇率水平变动对进口的影响。

的解释：在汇率水平不变的情况下，国民收入变动对进口的影响。

二、多元回归的最小二乘法

1、模型

若被解释变量
与
个解释变量
存在线性关系，可建立如下线性多元模型：

或表示为：

可以用矩阵表示为：

其中：

2、假设

（1）随机误差项非自相关，每一误差项满足均值为0，方差相同且为有限值。

，

（2）解释变量误差项相互独立。

（3）解释变量之间线性无关。

（4）
非随机变量。

以上假定在纯数学的意义是保证估计参数有唯一的解，同时保证了良好的统计特征。

3、估计

上式中，利用了
（1×T）（T×K）（K×1）＝（1×1）是一个标量，它的转置矩阵不变：

求偏导：

上式中，利用了矩阵导数：

则：

由假定
是一个非退化矩阵，其逆矩阵存在，因此有：

因为其二阶条件
，因此
是使方差最小化的解。

估计的回归模型写为：

其中
称为估计的回归函数，
为估计值的列向量，
为残差列向量。

4、估计参数的若干性质

（1）线性无偏性

（2）最小方差。（高斯－马尔可夫定理，证明略）

估计量为最佳线性无偏估计量。

（3）估计量具有渐进无偏性和渐进有效性。
。

样本足够大时，
估计量
的概率极限为
，
为
的一致估计量。

残差的方差

随机误差项方差
的无偏估计量
定义为：

其中
为样本容量，
为待估计参数的个数。（样本残差有
个自由度）

6、可决系数

总平方和：

回归平方和：

残差平方和：

有：

1）多重可决系数：

越接近1，估计的回归函数的拟合优度越好。

2）调整后的决定系数。

对于给定的
，解释变量的个数越多，则回归残差越小，从而决定系数越高，为考虑模型中的解释变量的个数对
的影响，定义调整的决定系数：

当在模型中增加解释变量时，回归残差变小，同时
变小，从而使得回归残差的变小得到一定的补偿。

7、回归函数的假设检验。

（1）OLS估计量的分布

Y为U的线性函数，由于假定u服从正态分布，即：
，因此有：

（2）回归参数的检验

A、提出原假设：

备选假设：

B、计算

C、给出显著水平
，查自由度为
的
分布表，得临界值
。

显著水平可以根据实际情况选取，如1％、5％、10％等。

D、作出判断。

如果
，接受原假设
。

如果
，拒绝原假设
，接受备选假设。

P-值：假设
不被拒绝的最大显著程度

置信区间

与t检验的关系

如果
在95%的置信区间中，在双侧检验中在5%的显著程度我们不能拒绝假设
；反之，如果在双侧检验中在5%的显著程度我们不能拒绝假设
，则
一定在95%的置信区间中。

（3）方差分析

思想：检验是否所有的参数中至少有一个参数显著异于0。

A、提出假设

零假设：

备选假设：

B、构造
统计量：

分别为回归均方与误差均方

C、设定检验水平
，则检验规则为：

若
，接受

若
，拒绝

统计量越大，说明估计的参数等于0的概率越小。

P-值：假设
不被拒绝的最大显著程度

F值与
的关系

由F值的定义式，分子分母同时除以SST，有：

F值与
同方向变化，
越大，F值就越大，当
＝1时，F趋于 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 程的影响。

例2：检验汇率制度的改变是否导致了汇率与进出口之间的关系发生了改变。

数字实例：英国1946－1963年的个人储蓄与个人收入的数据。

检验重建时期（1946－1955）与重建后时期（1956－1963）居民的储蓄行为是否有结构性的变化。

储蓄模型：

S = C(1) + C(2)*Y

估计结果：

Chow－检验

以1955年为分界线，检验模型在前后两个样本期是否有结构性的改变。

结果：

解释，chow检验的F统计量为5.037,概率为0.0225, chow检验在2.249％的显著性水平上拒绝了1946－1955与1956－1963储蓄方程相同的原假设。

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