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南 京 晓 庄 学 院

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时 间： 2021年7月

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030#《初等数论》作业2复习资料

一、填空题

1.σ(288)＝_______________；
(288)＝________________。

2.π(120)-π(100)＝________________。

3.分数
，
中必为既约分数的是_____________。

4.同余方程15x≡12(mod99)关于模99的解是___________________。

5.不定方程28x-67y=141的通解是__________________。

6.若2002!≡0(mod10k)，则k的最 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 则

x=
， k∈Z

于是 ［
］=k

故 ［
-k］=0

从而 0≤-3k+8＜10

解得
＜k≤
， 于是k=0，1，2，

x=
,
, 3

三、论证题

1.若n不是素数，则可设

n=ab,a＞1， b＞1

则2n-1=(2a)b-1, 记2a=c, 则c≥4

2n-1=cb-1,

=(c-1)(cb-1?+cb-2?+…+c+1)

显然c-1＞1，而后一式中有b-1≥1，故

cb-1?+…+c+1≥c+1＞1

这就表明2n-1可分解为两个大于1的整数之积

此与2n-1是素数矛盾，故n必是素数

2.欧拉定理：若(a,m)=1,则

证：设

x1,x2,…,x?
? (1)

是模m的一个简化剩余系，则

ax1,ax2,…,a
? (2)

也是模m的简化剩余系

因而(2)的每一个数，与且仅与(1)中的一数关于模m同余，故

ax1·ax2…a
?≡x1x2…
(mod m)

即
x1x2…
≡x1x2…
（mod m）

但(xi,m)=1, i=1,2,…,
,故

(x1x2…
,m)=1

于是可从同余式两边除去x1x2…
，得

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