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第2讲　概率、随机变量及其分布列

高考定位　1.随机事件、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；3.对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数学建模”将会不断加大考查力度.

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1.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.(2021·新高考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

3.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)

A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大

B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等

4.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

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1.概率模型公式及相关结论

(1)古典概型的概率公式

P(A)＝＝.

(2)条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.

(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).

(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，

P()＝1－P(A).

2.独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.

3.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.

4.离散型随机变量的均值、方差

(1)离散型随机变量ξ的分布列为

ξ

x1

x2

x3

…

xi

…

xn



P

p1

p2

p3

…

pi

…

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A.0.682 6 B.0.841 3

C.0.818 6 D.0.954 4

5.(多选)(2021·*_**已知甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面上的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面上的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面上的数字为偶数”，则下列结论正确的是(　　)

A.P(A)＝P(B)＝P(C) B.P(BC)＝P(AC)＝P(AB)

C.P(ABC)＝ D.P(A)·P(B)·P(C)＝

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