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一. 判断题(对的打√, 错的打×,
)

1. ( × ) 设
为有理数，
为无理数，则
一定是无理数.

2. ( × ) 设数列
满足：对任何自然数
, 有
, 且
和
都存在，则
.

3. ( √ ) 单调数列
如果含有一个收敛的子列, 则
本身一定也收敛.

4. ( × ) 设
是无穷小数列,
是无穷大数列, 则
是无穷大数列.

5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.

6. ( × ) 设
均为无界数列, 则
一定为无界数列.

7. ( √ ) 设函数
在某
内有定义, 且
在
点的左右极限都存在且相等, 则
在
极限存在.

8. ( × ) 设
, 则
.

9. ( √ ) 如果对任何某某
为极限的递减数列
, 都有
,

则有
.

( × ) 若
总可找到
使得
,

则
不存在.

得得分





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求
的上下确界,并用定义验证.

解:
.(2分)

下面验证
对
有
,对
若
.

当
时, 根据实数的稠密性,存在有理数
使得
. 所以
(2分)

下面验证
对
有
,对
若
.

当
时, 根据实数的稠密性,存在有理数
使得
. 所以
(2分)

3. 设
,
，
。判断数列
的收敛性，若收敛, 并求其极限.

解:因为
,
(2分)

(2分)

所以数列
是单调递减且有下界, 则数列
的收敛,(1分)

设
(舍去). 所以数列
收敛,
.(1分)

得得分





六. 证明题（本大题满分10
）用分析定义证明归结原则：设
在
上有定义，
的充要条件是：对于任何含于
且以
为极限的数列
，都有
.

证明：必要性　设
，则对
，存在正数
，使得当
时，
．（2分）

另一方面，设数列
含于
且
，则对上述的
，
，当
时有
，从而
，即
．（3分）

充分性　设对任何含于
且以
为极限的数列
，都有
.用反证法，若当
时
不以
为极限，则
，
，
使得
时
．取
，
，
，．．．，
，．．．，则得到数列
使得
，而
．（3分）

数列
且
，但当
时
不趋于
，与假设矛盾．所以必有
．（2分）

得得分





七. 证明题（本大题满分5
）设
，
是一个正的常数。如果数列
满足
。用柯西收敛准则证明：
存在。

证明：
，不妨设
和

．(3分)

故取

，当
时有
．由柯西收敛准则可知
存在．（2分）　

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