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计算机研究与发展 １１竺！！！！！！竺！竺！！竺某某！竺！！！！型望！二！！！巴！旦！ Ｄ（）Ｉ：１０．７５４４／ｉｓｓｎｌ０００—１２３９．２０１５．２０１３１４９４ ！！！！！！！！！！二！！！！：！！！！ 同态加密算法及其在XX全中的应用 李某某１ 窦某某２ 王道顺３ １（陕西师范大学计算机*** XX ７１００６２） ２（陕西师范大学数学与信息*** XX ７１００６２） 。（清华大学计算机科学与技术系 XX １０００８４） （ｓｈｕｎｄｏｎｇ＠ｓｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ） Ｓｕｒｖｅｙ ｏｎ Ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ Ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｃｌｏｕｄ Ｓｅｃｕｒｉｔｙ Ｌｉ Ｓｈｕｎｄｏｎ９１，Ｄｏｕ Ｊｉａｗｅｉ ２，ａｎｄ Ｗａｎｇ Ｄａｏｓｈｕｎ３ １（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｚｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００６２） ２（Ｓ（ｈｏｏｌ ｏ．厂Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ １７１ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃ’ｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ＇ａｎ ７１００６２） ３（ＤｅｐａＹｌＤｌｅｌｌｌ ｏｆ（＇ｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｍ’ｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８４） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｃｌｏｕｄ ｓｅｒｖｉｃｅ ｍｏｄｅ ｈａｓ ｇｒｅａｔ ｅｃｏｎｏｍｉｃａｌ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｓｐｅｃｔｓ．Ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｕｄ ｓｅｒｖｉｃｅ ｉｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｔｏ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｈｉｎａ．Ｃｌｏｕｄ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｓｅｒｉｏｕｓ ｃｈａｌｌｅｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｕｄ ｓｅｒｖｉｃｅ．Ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｆｕｌｌｙ ｏｎｅｓ，ａｒｅ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｉｓｉｎｇ ｉｎ ｃｌｏｕｄ ｓｅｒｖｉｃｅ，ａｎｄ ａ ｆｏｃｕｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃ ｃｏｍｍｕｎｉｔｙ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ｃｏｎｆｉｄｅｎｔｉａｌｉｔｙ ｉｎ ｃｌｏｕｄ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｎｄ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｆｉｅｌｄｓ，ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｍｅｒｉｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｕｌｔｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ａｎｄ ｏｆ ｆｕｌｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｉｒｃｕｉｔｓ，ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｓｏｍｅ ｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｎｄ ｎｅｗ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ａｎｄ ｂｒｉｅｆｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｅｃｕｒｅ ｐｌａｉｎｔｅｘｔ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ｉｔｓ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｖｅｒ ｃｉｐｈｅｒ—ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｔｈａｔ ｎｅｅｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ；ｃｌｏｕｄ ｓｅｒｖｉｃｅ；ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ；ｃｉｐｈｅｒ—ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ；ｓｅｃｕｒｅ ｍｕｌｔｉｐａｒｔｙ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ 摘要云服务模式具有巨大的经济技术优势和广阔的应用前景，普及云服务技术对我国的信息化建设 和社会发展具有重要的意义．云服务推广与应用中面临的最大挑战是安全问题．同态加密，尤其是全某某 态加密是解决云服务安全问题极为关键的技术，也是近年来国际密码学界研究的热点问题．对同态加密 的研究现状进行了综述，介绍了同态加密在云计算机密性保护及其他方面的应用，重点介绍了各种代数 部分同态加密方案和电路全某某态加密方案的优缺点．对同态加密未来的研究问题进行了分析，同时简单 介绍了XX全中的明文某某计算概念、相对于密文某某的优势以及需要进一步研究的问题等． 关键词 密码学；云服务；同态加密；密文某某；多方保某某计算 中图法分类号ＴＰ３９３；ＴＮ９１８ 收稿日期：２０１３ １卜１８；修回日期：２０１４一０７—２１ 基金项目：国家自然科学基金项目（６１２７２４３５，６１３７３０２０，６１０７０１８９） 万方数据 李某某等：同态加密算法及其在XX全中的应用 云服务是一种新的服务交付和使用模式．在这 种模式下云服务商负责购买、维护、管理和升级计算 软硬件设施，并通过网络以按需、易扩展的方式向云 用户提供满足需要的计算与存储服务，而用户则按 照使用资源的情况支付使用费．云服务可以大大地 节约数据管理、软硬件购买、系统管理维护和升级的 费用，同时可以获得满足需要的存储与计算能力，因 而云服务模式具有巨大的经济技术优势和广阔的应 用前景口］．普及云服务技术对我国的信息化建设和 社会发展具有重要的意义． 云服务给用户带来了超强的计算能力、近乎无 限的存储能力和巨大的经济利益，同时也带来了严 重的安全问题．云服务的实际应用面临诸多挑战，其 中安全问题被认为是最大的挑战，是云服务亟待解 决的最大难题［２。３］．思科ＣＥＯ钱伯斯甚至夸张地说 “云计算是安全的噩梦‘钉”．云服务安全问题非常复 杂，需要研究解决的问题很多．在诸多的安全问题 中，数据的机密性保护是云服务中最重要、最关键的 安全问题，这涉及到数据的保某某存储与保某某计算，是 云存储和云计算中最关键的安全问题． 首先，机密数据采用云存储会造成巨大的安全 隐患［５］．如果用户把机密信息以明文形式存储在云 服务商处，云服务商就可以复制机密信息为自己谋 利且不影响云服务商给用户提供完整的信息，用户 根本无法发现自己的信息已被复制或泄露，但机密 信息的价值就会大打折扣甚至完全丧失，若被敌方 利用还可能造成致命的损失．因此，在云存储中如何 面对云服务商保持数据的机密性是云用户最关心的 安全问题．从理论上讲，同态加密存储是一种可行的 解决方案．其次，云用户若将原本由自己完成的计算 任务外包给云去完成，如果是机密数据，这样做就会 导致机密数据泄露．即使是加密的数据，要利用云完 成计算也必须首先解密，同样会泄露给云服务商．明 文某某计算是这个问题的可能解决方案．同态加密 与云服务中数据机密性保护密切相关，是解决云服 务数据机密性保护问题的关键技术，也是密文检索 的关键技术．解决云服务机密性保护问题的迫切需 要推动了同态加密研究的繁荣，同态加密技术的突 破将使云服务关键安全问题获得满意的解决． 本文总结了云服务中数据机密性保护的关键技 术——同态加密技术的研究现状、不足、需要进一步 研究的问题和各种可能的应用；主要介绍了各种代 数部分同态加密算法和电路全某某态加密算法的优缺 点；同时简单介绍了明文某某计算的概念、明文某某 计算在数据机密性保护方面的作用、相对于密文计 算的优势以及需要进一步研究的问题． １ 预备知识 １．１ 部分同态加密 同态是近世代数中的概念．设＜Ｇ，＊＞和＜Ｈ，。＞ 是２个代数系统，，１：Ｇ—Ｈ是一个映射，如果对于 Ｖ“，ｂＥ Ｇ，都有ｆ（ａ＊６）一厂（ａ）。，（６），则称，是从 Ｇ到Ｈ的一个同态映射．密码学推广了近世代数的 同态映射概念，提出了部分同态与全某某态加密概念． Ｒｉｖｅｓｔ，Ａｄｌｅｍａｎ和ＤｅｒｔｏｕｚｏｓＭ ３首先发现ＲＳＡ公 钥加密算法Ⅲ具有部分同态性，受此启发他们提出 了同态加密的概念‘…．Ｒａｐｐｅ日３探讨了同态加密的 各种应用．加密是从明文空间到密文空间的映射，如 果加密映射是一个同态映射，我们就说它是一个同 态加密方案．简单地说同态加密就是加密运算和某 一代数运算或者混合代数运算可以交换顺序的加密 方案．目前尚没有简洁的、普遍接受的同态加密定义， 笔者根据自己对同态加密的理解，给出如下定义： 定义１．设Ｅ（Ｋ，Ｔ）表示用加密算法Ｅ和密钥 Ｋ对ｚ进行加密，Ｆ表示一种运算，如果对于加密 算法Ｅ和运算Ｆ，存在有效算法Ｇ使得： Ｅ（Ｋ，Ｆ（丁１，…，丁，。））一 Ｇ（Ｋ，Ｆ，（Ｅ（ｚ。），…，Ｅ（ｚ。）））， （１） 就称加密算法Ｅ对于运算Ｆ是同态的． ” 如果定义中的等式仅对Ｆ（Ｔ－，…，工。）一≥：ｚ， ｉ—ｌ 成立，那么该加密方案就是一个加法同态加密方案 （ａｄｄｉｔｉｖｅｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ）． 如果定义中的等式仅对Ｆ（Ｔ。，…，工。）一ＩＩ ｚ。 ｆ＝Ｉ 成立，那么该加密方案就是一个乘法同态加密方案 （ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ）． 如果定义中的等式对包含加法与乘法混合运算 的Ｆ（ｘｌ，．“，工。）成立，那么该加密方案就是一个全 同态加密方案（ｆｕｌｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ）．只 对一种运算成立的同态加密方案称为部分同态加密 方案（ｓｏｍｅｗｈａｔ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｏｒ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ）．理解了这个定义，就可 以很自然地理解同态加密各种应用． ＥＩＧａｍａｌ乘法同态加密算法［９］：设Ｐ是一个大 素数，ｇ是Ｚ；的一个生成元，任意选择一个随机数 ｋＥ露作为私钥，计算ｈ—ｇ‘ｍｏｄ Ｐ，将其作为公钥． 万方数据 计算机研究与发展２０１５，５２（６） 要加密消息埘＜Ｐ，任意选择一个随机数ｒ∈Ｚ；， 计算： ‘１一ｇ’ｍｏｄ ７ Ｐ，。２一ｍｈ ｍｏｄ Ｐ． 研的密文就是Ｅ（埘）一（ｆ。，Ｃ。）一（矿，ｍｈ’）．因为 Ｅ（ｍ１）Ｅ（ｍ２）一（ｇ‘ｌ，ｍｌｈｒｌ）（９７２，ｍ２ｈｒ２）一 （ｇ’Ｉ十‘２，聊１ｍ２ｈ‘ｌｈ２）一Ｅ（ｍ１＋ｍ２）， 所以Ｅ１Ｇａｍａｌ公钥加密算法具有乘法同态性． Ｐａｉｌｌｉｅｒ加法同态加密算法［１…：设Ｐ，ｑ为大素 数，竹一ｐｑ．Ａ—ｌｃｍ（Ｐ一１，ｑ一１），定义 Ｌ（“）一型． 视 假设ｇ满足： ｇｃｄ（（矿ｍｏｄ村２），行）一１， 要加密消息ｍ＜，ｚ，选择一个随机数ｒ＜行，则密文为 因为 Ｅ（ｍ）一ｇ…，．”ｒｏｏｄ行２． Ｅ（ｍ１）Ｅ（棚２）一（ｇ”１ ｒｎｌ）（ｇ”ｚ，．；）一 ｇ卅１＋ｍ２（ｒｌ，．２）”一Ｅ（ｍｌ＋ｍ２ ｍｏｄ行）， 所以Ｐａｉｌｌｉｅｒ公钥加密算法具有加法同态性． 部分同态加密方案的构造没有规律可循，主要 是利用数论和近世代数中某些代数运算的性质结合 某些计算困难问题构造具有部分同态性的公钥加密 方案，构造的方法见仁见智．Ｅ１Ｇａｍａｌ和Ｐａｉｌｌｉｅｒ公 钥加密算法是２个典型的部分同态加密算法，此外 著名的ＲＳＡ公钥加密算法Ⅲ也具有乘法同态性， Ｂｅｎａｌｏｈ加密算法［１妇具有加法同态性，Ｇｏｌｄｗａｓｓｅｒ— Ｍｉｃａｌｉ加密算法［１胡具有异或同态性． １．２全某某态加密 式（１）给出的全某某态加密算法的定义非常简洁， 但到目前为止人们还没有找到利用这种定义构造的 全某某态加密方案．实际的全某某态加密方案主要是利 用电路构造的，所以全某某态加密方案也是用电路来 定义的．电路计算是计算理论中一种重要的计算模 型［１…，只有理解了电路计算，才能理解全某某态加密 方案的定义．如果不理解电路计算模型，可以将其看 成一个函数来理解．由于“一个电路理论上等价于一 个函数”，所以对于电路Ｃ，当出现Ｃ（ｘ，，…，Ｔ。）时， 可以认为它等价于某个函数Ｆ（Ｔ，，…，ｚ。）．本文采 用文献［１４］对于全某某态加密方案的定义． 一个常规的（ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ）公钥加密方案￡由 ＫｅｙＧｅｎ。，Ｅｎｃｒｙｐｔ。和Ｄｅｃｒｙｐｔ。这３个随机算法组 成．ＫｅｙＧｅｎ。接收安全参数Ａ作为输入，输出私钥５忌 与公钥户是，ｐ是定义了明文空间Ｐ和密文空间Ｘ． Ｅｎｃｒｙｐｔ。接收输入ｐ志和明文丌ＥＰ，输出用公钥户尼 加密明文丌所得的密文驴Ｅ Ｘ，记作妒一Ｅｎｃｒｙｐｔ。 （ｐｋ，ｚｒ）。Ｄｅｃｒｙｐｔ。接收输入ｓ壶和‘ｆＩ，输出明文７ｆ．上 述３个随机算法的计算复杂性都应该是Ａ的多项 式．加密系统还应满足正确性条件：即如果（ｓｋ， 户是）＋Ｒ—ＫＰｙＧＰ行。（Ａ），而且７ｒ Ｅ Ｐ，咖一ＥＲ押ｆ，．ｙｐ￡。 （ｐｋ，７ｒ），那么Ｄｅｃｒｙｐｔ。（ｓｋ，曲）一丌． 同态加密方案除了上述３个随机算法外，还有 一个算法Ｅｖａｌｕａｔｅ。：输入公钥夕志、从电路集合ＣＥ 中选取的一个电路Ｃ以及一组密文Ｙ一＜幽，…， 识＞，输出密文驴∈Ｃ．如果： 那么 驴：一Ｅｎｃｒｙｐｔ。（ｐｋ，ｍ），ｉ一１，…，ｔ， Ｅｖａｌｕａｔｅ。（ｐｋ，Ｙ，Ｃ）一 Ｅｎｃｒｙｐｔ。（ｐｋ，Ｃ（ｒｃｌ，…，孤））． （２） 定义２［１“．如果同态加密方案￡对于ＫｅｙＧｅｎ。（Ａ） 生成的任何密钥对（ｓｋ，ｐｋ），任意电路ＣＥ Ｃ，任意 密文ｙ一＜≯，，…，妒。＞，其中≯。一Ｅｎｃｒｙｐｔ。（ｐｋ，丌ｉ），如 果驴一Ｅｖａｌｕａｔｅ。（ｐｋ，Ｙ，Ｃ）贝０ Ｄｅｃｒｙｐｔ。（ｓｋ，妒）＝ Ｃ（ｚｒｌ，．一，巩），就说同态加密方案￡对于电路集合Ｃ。 是正确的． 定义３［１“．如果存在一个多项式，，对于任意 的安全参数值Ａ，同态加密方案ｓ的解密算法可以用 一个规模（ｓｉｚｅ）最多为，（Ａ）的电路Ｄ。表示，就说同 态加密方案￡是紧凑的（ｃｏｍｐａｃｔ）． 定义４［１ ４｜．如果加密方案￡对于Ｃ。中的电路是 紧凑且正确的，就说同态加密方案ｓ紧凑地计算Ｃ。 中的电路． 定义５［１“．如果一个同态加密方案ｅ能够紧凑 地计算所有电路，就说它是全某某态的． 这里给出的同态加密定义很难理解，也很难在 这样的定义基础上理解同态加密的各种应用．基于 电路计算模型的全某某态加密方案定义已经很复杂 了，基于电路计算模型的全某某态加密算法的构造更 为复杂，一般是先构造一个能够用电路表示的部分 同态加密方案，然后修改电路使这个电路成为自举 电路（ｂｏｏｔｓｔｒａｐａｂｌｅ ｃｉｒｃｕｉｔ），从而成为全某某态加密 电路．全某某态加密方案的构造过程很难用较短的篇 幅完整地描述． １．３ 同态加密与XX全 在利用云服务的过程中要保证数据的机密性应 该分别考虑下面２种情况：１）参与计算的数据是加 密存储的；２）参与计算的机密数据是用户自己以明 文方式保存的． 万方数据 李某某等：同态加密算法及其在XX全中的应用 如果参与云计算的数据是以加密形式存储的， 人们自然希望直接利用加密的数据进行计算．如果 能够直接利用密文进行计算，那么即使云参与了计 算过程，仍可保证数据的机密性．目前只有利用同态 加密才能够实现在密文上直接计算．理论上讲，如果 采用全某某态加密算法对数据进行加密存储，用户就 可以利用云在多个密文上直接进行任何运算，运算 的结果等于对相应的多个明文进行直接运算所得结 果的密文，即 Ｇ（Ｋ，Ｆ，（Ｅ（ｚ１），…，Ｅ（ｚ。）））＝ Ｅ（Ｋ，Ｆ（ｚｌ，…，ｚ。））， 故用户可以将ｚ，，…，．７６。加密成某某Ｅ（ｚ，），…， Ｅ（ｘ。）存储在云中，这就可以防止云服务商对数据 的无授权访问．需要借助云计算Ｆ（ｘ１＇．”，ｚ。）时，让 云直接在密文上计算Ｇ（Ｋ，Ｆ，（Ｅ（ｚ１），…，Ｅ（ｘ。）））， 得到结果后再进行解密就可以得到Ｆ（ｘｌ’．一，ｚ。），从 而实现保某某计算Ｆ（ｘ１＇．“，Ｔ。），而且避免了重复加密 解密，这种计算称为密文某某（ｃｉｐｈｅｒ－ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ）． 这意味着用户可以在不信任云服务商的条件下，利 用云进行保某某存储与保某某计算，这同时解决了云服 务的保某某存储与保某某计算问题．因此，同态加密成为 云计算与云存储中保证数据机密性的核心技术，也 是多用户联合保某某计算，即多方保某某计算［１ ５。１８１的重 要技术． 如果参与计算的机密数据是用户以明文形式保 存的，这种情况对应于明文某某计算，目前对这种情 况研究的很少，但要实现机密数据的计算外包就必 须解决这种情况下特殊的安全问题．关于明文某某 计算的内容，将在２．４节介绍． ２ 同态加密的研究现状 ２．１部分同态加密算法 ＲＳＡ算法是建立在因子分解困难性假设基础 上的公钥加密算法，使用电子密码本模式（ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ ｃｏｄｅ ｂｏｏｋ）进行加密时，ＲＳＡ加密算法具有乘法同 态性，乘法同态性表现为Ｅ（ｍ，）Ｅ（优。）一Ｅ（ｍ。ｍ：）， 这对应于定义１中Ｆ，Ｇ都是乘法运算的情况．ＲＳＡ 是第一个具有部分同态性的加密算法． 自ＲＳＡ公钥加密算法之后，人们又相继构造了 多种具有部分同态性的加密算法．其中，建立在计算 有限域上离散对数困难性假设基础上的Ｅ１Ｇａｍａｌ 算法［９１具有乘法同态性，它是一个概率公钥加密算 法，既能用于加密又能用于数字签名；ＣｒａｍｅｒＥｌ９１提 出了具有加法同态性的变形Ｅ１Ｇａｍａｌ算法，但是这 个算法的解密过程需要计算离散对数，而计算离散 对数是困难的；建立在计算以合数为模的二次剩余 困难性假设基础上的Ｇｏｌｄｗａｓｓｅｒ—Ｍｉｃａｌｉ概率加密 算法口２３具有对异或运算的同态性，这种同态性表现 为Ｅ（ｍ，）①Ｅ（ｍ：）一Ｅ（ｍ，①１７／：），该算法对数据 的加密只能逐比特进行；建立在理想成员资格判定 问题（ｉｄｅａｌ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｐｒｏｂｌｅｍ）基础上的Ｂｅｎａｌｏｈ算 法［１¨对于乙上的加法运算具有同态性；建立在合数 模的高阶剩余计算困难性假设基础上的Ｐａｉｌｌｉｅｒ算 法［１叩具有加法同态性，这种同态性表现为Ｅ（ｍ。） Ｅ（ｍ２）一Ｅ（ｍｌ＋ｍ２ ｍｏｄ行），这对应于定义中Ｆ为 加法运算、Ｇ为乘法的情况；Ｎａｃｃａｃｈｅ—Ｓｔｅｒｎ算法［２０］ 是基于高阶剩余计算困难性假设的公钥密码算法， 具有乘法同态性；基于因子分解困难性假设的 Ｏｋａｍｏｔｏ—Ｕｃｈｉｙａｍａ算法心妇和基于不经意传输方法 构造的Ｄａｍｇａｒｄ—Ｊｕｒｉｋ算法［，２］也具有加法同态性． 同态加密算法有确定性同态加密算法和概率同态加 密算法，Ｄａｍ，Ｈａｌｌｇｒｅｎ和Ｉｐ［２３］证明了在量子计算 环境中任何确定性同态加密算法都可以在多项式时 间内被攻破，不具有语义上的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ ａｎｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｎｅｓｓ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｐｒｏｇｒａｍｓ，ｅ－ｃｏｍｍｅｒｃｅ． Ｄｏｕ Ｊｉａｗｅｉ，ｂｏｒｎ ｉｎ １９６３．ＰｈＤ，ａｓｓｏｃｉａｔｅ ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ ｏｆ Ｓｈａａｎｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ． Ｈｅｒ ｍａｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ． 孵，～熊某某 Ｗａｎｇ Ｄａｏｓｈｕｎ，ｂｏｒｎ ｉｎ １９６４．ＰｈＤ， ａｓｓｏｃｉａｔｅ ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，ａｎｄ ＰｈＤ ｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ ｏｆ Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｍｅｍｂｅｒ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｆｅｄｅｒａｔｉｏｎ．Ｈｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ｖｉｓｕａｌ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｈｉｄｉｎｇ ａｎｄ ｄｉｇｉｔａｌ ｗａｔｅｒ－ｍａｒｋｉｎｇ（ｄａｏｓｈｕｎ＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ． ｃｎ）． 万方数据 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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