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磁　场

磁场和磁感应强度

1．磁场的基本性质

磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁力的作用。

2．磁感应强度

(1)物理意义：描述磁场的强弱和方向。

(2)定义式：B＝(通电导线垂直于某某)。

(3)方向：小磁针静止时N极所指的方向。

(4)单位：特斯拉，符号T。

3．磁感线的特点

(1)磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。

(2)磁感线的疏密定性地表示磁场的强弱。

(3)磁感线是闭合曲线，没有起点和终点。

(4)磁感线是假想的曲线，客观上不存在。

安培定则的应用与磁场的叠加

1．[安培定则的应用]

(多选)下列各图中，已标出电流I、磁感应强度B的方向，其中符合安培定则的是(　　)

/

[系统归纳]

1．电流周围的磁场(安培定则)

直线电流的磁场

通电螺线管的磁场

环形电流的磁场



特点

无磁极、非匀强磁场且距导线越远处磁场越弱

与条形磁铁的磁场相似，管某某为匀强磁场且磁场最强，管某某为非匀强磁场

环形电流的两侧是N极和S极，且离圆环中心越远，磁场越弱



安 培 定 则

/

/

/





2．[运动电荷形成的磁场]

如图所示，圆环上带有大量的负电荷，当圆环沿顺时针方向转动时，a、b、c三枚小磁针都要发生转动，以下说法正确的是(　　)

A．a、b、c的N极都向纸里转

B．b的N极向纸外转，而a、c的N极向纸里转

C．b、c的N极都向纸里转，而a的N极向纸外转

D．b的N极向纸里转，而a、c的N极向纸外转

3．[磁场的叠加]

如图，两根相互绝缘的通电长直导线分别沿x轴和y轴放置，沿x轴方向的电流为I0。已知通电长直导线在其周围激发磁场的磁感应强度B＝k，其中k为常量，I为导线中的电流，r为场中某点到导线的垂直距离。图中A点的坐标为(a，b)，若A点的磁感应强度为零，则沿y轴放置的导线中电流的大小和方向分别为(　　)

A.I0，沿y轴正向　　　　　 B.I0，沿y轴负向

C.I0，沿y轴正向 D.I0，沿y轴负向

1．选AB　图A为环形电流的磁场，符合安培定则；图B是直线电流的磁场，符合安培定则；图C是直线电流的磁场，不符合安培定则；图D是通电螺线管的磁场，不符合安培定则。

2．选B　由于圆环带负电荷，故当圆环沿顺时针方向转动时，等效电流的方向为逆时针，由安培定则可判断环内磁场方向垂直纸面向外，环外磁场方向垂直纸面向里，磁场中某点的磁场方向即是放在该点的小磁针静止时N极的指向，所以小磁针b的N极向纸外转，a、c的N极向纸里转。故B正确。

3．选A　沿x轴方向导线电流在A点的磁感应强度大小为Bx＝k，由安培定则，可知方向垂直xOy平面向外，由题知A点的磁感应强度为零，则沿y轴方向导线电流产生的磁感应强度方向垂直xOy平面向里，由安培定则知，沿y轴放置的导线中电流方向沿y轴正向，其在A点的磁感应强度大小满足By＝k＝k，即沿y轴放置的导线中电流的大小I＝I0，故A项正确。

磁场对电流的作用——安某某　　　　　　　

1．[安某某的方向]

下面的几个图显示了磁场对通电直导线的作用力，其中F的方向正确的是(　　)

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[系统归纳]

安某某的方向——左手定则

伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安某某的方向。

[注意]　F⊥B且F⊥I，但I与B的方向可成任意夹角。　

2. [安某某的大小]

(2019·全国卷Ⅰ)如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安某某大小为F，则线框LMN受到的安某某的大小为(　　)

A．2F　　　　　B．1.5F　　　　　C．0.5F　　　　　D．0

安某某的大小：F＝BILsin θ，θ为磁感应强度与电流方向的夹角。

(1)当磁场与电流垂直时，安某某最大，Fmax＝BIL。

(2)当磁场与电流平行时，安某某为零。

(3)应用F＝BIL计算安某某的大小时，L一定是有效长度。

3.[安某某作用下的平衡]

(2021年1月新高考8省联考·湖南卷)如图，力传感器固定在天花板上，边长为L的正方形匀质导线框abcd用不可伸长的轻质绝缘细线悬挂于力传感器的测力端，导线框与磁感应强度方向垂直，线框的bcd部分处于匀强磁场中，b、d两点位于匀强磁场的水平边界线上。若在导线框中通以大小为I、方向如图所示的恒定电流，导线框处于静止状态时，力传感器的示数为F1，只改变电流方向，其它条件不变，力传感器的示数为F2，该匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

3.安某某作用下导体的平衡问题的分析思路

(1)基本思路

①选定研究对象：通电导线或导体棒。

②变三维为二维：画出平面受力分析图，其中安某某的方向要用左手定则来判断。

[注意]　安某某垂直于电流和磁场方向决定的平面。

③列方程求解：根据力的平衡条件列方程。

(2)求解关键

①电磁问题力学化。

②立体图形平面化。

③求解极值数学化。

[精解详析]

1．选C　根据左手定则判断可知，A中F方向向右，B中F方向向下，C中F方向向下，D中磁场与电流平行，F＝0，故只有C正确。

2．选B　设每根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中，上下两路电阻之比为R1∶R2＝2R∶R＝2∶1，上下两路电流之比I1∶I2＝1∶2。如图所示，

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由于上路通电的导体受安某某的有效长度也为L，根据安某某计算公式F＝ILB，可知F′∶F＝I1∶I2＝1∶2，得F′＝F，根据左手定则可知，两力方向相同，故线框LMN所受的合力大小为F＋F′＝1.5 F，选项B正确。

3. 选C　线框在磁场中受到安某某的等效长度为bd＝L，当电流方向为图示方向时，由左手定则可知导线框受到的安某某竖直向上，大小为F＝BIL，因此对导线框受力平衡可得F1＋F＝mg，当导线框中的电流反向，则安某某方向竖直向下，此时有mg＋F＝F2，联立可得B＝，故C正确。

磁场对运动电荷的作用

一、洛伦兹力

1．定义：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。

2．方向

(1)判定方法：左手定则

掌心——磁感线垂直穿入掌心；

四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；

拇指——指向洛伦兹力的方向。

(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。

3．大小

(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)

(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)

(3)v＝0时，洛伦兹力F＝。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。

2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。

3．半径和周期公式：(v⊥B)

/

2．下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)

/

答案：B

3．(多选)两个粒子，电量相等，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动(　　)

A．若速率相等，则半径必相等

B．若动能相等，则周期必相等

C．若质量相等，则周期必相等

D．若动量大小相等，则半径必相等

解析：选CD　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，可得R＝，T＝，可知C、D正确。

4．(2021·*_**两种不计重力的带电粒子M和N，以相同的速度经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(　　)

A．M带正电， N带负电

B．洛伦兹力对M、N做正功

C．M的比荷小于N的比荷

D．M的运行时间小于N的运行时间

解析：选C　由左手定则判断出N带正电荷，M带负电荷，故A错误；洛伦兹力始终与运动的方向垂直，所以洛伦兹力不做功，故B错误；粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝，比荷为：＝，在速率相同的情况下，半径大说明比荷小，故C正确；粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，而周期T＝，所以M的运行时间大于N的运行时间，故D错误。

对洛伦兹力的理解

[典例]　初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则(　　)

A．电子将向右偏转，速率不变

B．电子将向左偏转，速率改变

C．电子将向左偏转，速率不变

D．电子将向右偏转，速率改变

[审题指导]

(1)由安培定则分析电流周围的磁场分布情况；

(2)根据左手定则判断洛伦兹力的方向；

(3)由动能定理判断电子动能的变化情况。

[解析]　由安培定则可知直导线右侧磁场的方向垂直纸面向里，再根据左手定则可知电子所受洛伦兹力方向水平向右，即电子将向右偏转，由于洛伦兹力不做功，电子动能不变，即速率不变，A项正确。

[答案]　A

1．(2021·*_**关于安某某和洛伦兹力，下列说法正确的是(　　)

A．运动电荷在磁场中一定受到洛伦兹力作用

B．通电导线在磁场中一定受到安某某作用

C．洛伦兹力一定对运动电荷不做功

D．安某某一定对通电导线不做功

解析：选C　运动电荷在磁场中运动，若速度方向与磁场方向在同一条直线上，则不受洛伦兹力作用，选项A错误；通电导线在磁场中，若电流方向与磁场方向在同一条直线上，则不受安某某作用，选项B错误；安某某方向与通电导线垂直，通电导线运动的方向可以与安某某方向平行，则安某某可以对通电导线做功，选项D错误；由于洛伦兹力方向垂直于运动电荷的速度方向，根据功的定义可知，洛伦兹力对运动电荷不做功，选项C正确。

2.如图所示，a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是(　　)

A．向上　　　　　　　　 B．向下

C．向左 D．向右

解析：选B　根据安培定则及磁感应强度的矢量叠加，可得O点处的磁场方向水平向左，再根据左手定则判断可知，带电粒子受到的洛伦兹力方向向下，B正确。

3．(2021·**_*如图是电子射线管示意图。接通电源后，电子射线由阴极沿x轴方向射出，在荧光屏上会看到一条亮线。要使荧光屏上的亮线向下(z轴负方向)偏转，下列措施可采用的是(　　)

/

A．加一磁场，磁场方向沿z轴负方向

B．加一磁场，磁场方向沿y轴正方向

C．加一电场，电场方向沿z轴负方向

D．加一电场，电场方向沿y轴正方向

解析：选B　要使荧光屏上亮线向下偏转，若加磁场，应使电子所受的洛伦兹力方向向下，电子运动方向沿x轴正方向，由左手定则可知，磁场方向应某某y轴正方向；若加电场，电场方向应某某z轴正方向，B项正确。

带电粒子在匀强磁场中的运动

[例1]　(2019·**_*如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(　　)

A．粒子带正电

B．粒子在b点速率大于在a点速率

C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出

D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短

[解析]　由左手定则知，粒子带负电，A错误；由于洛伦兹力不做功，故粒子速率不变，B错误；由R＝，若仅减小磁感应强度B，则R变大，粒子可能从b点右侧射出，C正确；由R＝，若仅减小入射速率v，则R变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大，由t＝T，T＝知，粒子在磁场中运动时间变长，D错误。

[答案]　C

1. (2021·*_**如图所示，平行金属板P、Q间有磁感应强度为B的匀强磁场，静止的电子在O点经加速电压U作用后，由P板上的小孔垂直进入磁场，打在Q板上的A点。现使磁感应强度大小B加倍，要使电子的运动轨迹不发生变化，仍打在Q板上的A点，应该使U变为原来的(　　)

A．4倍　　　　　　　　　 B．2倍

C.倍 D.

解析：选A　要使电子仍打在A点，则电子在磁场中的运动半径不变，由Bqv＝m可知R＝；B加倍，而R不变，速度v一定也要加倍；对加速过程分析可知，Uq＝mv2，解得v＝ ，要使速度v加倍，U应变为原来的4倍，故A正确。

2. (2021·*_**如图所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向相同(磁场未画出)，大小分别为B和2B。一带正电粒子(不计重力)以速度v从磁场分界线MN上某处射入区域Ⅰ，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成60°角，经过t1时间后粒子进入到区域Ⅱ，又经过t2时间后回到区域Ⅰ，设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则(　　)

A．ω1∶ω2＝1∶1 B．ω1∶ω2＝2∶1

C．t1∶t2＝1∶1 D．t1∶t2＝2∶1

解析：选C　由qvB＝m和v＝ωR得ω＝，故ω1∶ω2＝1∶2，A、B错误；若磁场方向垂直纸面向外，由几何关系知，粒子在区域Ⅰ中的轨迹对应的圆心角为120°，在区域Ⅱ中的轨迹对应的圆心角为240°，由T1＝、T2＝和t＝·T知t1∶t2＝1∶1，C正确；若磁场方向垂直纸面向里，由几何关系知，粒子在区域Ⅰ中的轨迹对应的圆心角为240°，在区域Ⅱ中的轨迹对应的圆心角为120°，可知t1∶t2＝4∶1，D错误。

3．如图所示，匀强磁场中有一电荷量为q的正离子，由a点沿半圆轨迹运动，当它运动到b点时，突然吸收了附近若干电子，接着沿另一半圆轨迹运动到c点，已知a、b、c在同一直线上，且ac＝ab。电子的电荷量为e，质量可忽略不计，则该离子吸收的电子个数为(　　)

/

A. B.

C. D.

解析：选D　正离子由a到b的过程，轨迹半径r1＝，此过程有qvB＝，正离子在b点吸收n个电子，因电子质量不计，所以正离子的速度不变，电荷量变为q－ne，正离子从b到c的过程中，轨迹半径r2＝＝ab，且(q－ne)vB＝，解得n＝，D正确。

带电粒子在有界磁场中的运动

1．两种方法定圆心

(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点。

/

(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图乙所示，P为入射点，M为出射点。

2．几何知识求半径

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

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(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

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(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

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3．带电粒子在有界磁场中运动的解题步骤：

[例1]　(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　)

A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2

B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4

C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1

D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2

[解析]粒子进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中做圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，A项正确，B项错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，即C项正确，D项错误。

[答案]　AC

类型2　平行边界问题

[例2]　如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是(　　)

/

A．电子将向右偏转

B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d

C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d

D．电子在磁场中运动的时间为

[解析]电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝＝，故D正确。

[答案]　D

类型3　圆形边界的磁场

[例3]如图所示，半径为r的圆形空间内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直射入磁场，在C点射出。已知∠AOC＝120°，粒子在磁场中运动时间为t0，则加速电场的电压是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C. D.

[解析]　根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为α＝180°－120°＝60°＝，轨迹半径为R＝rtan 60°＝r，由t0＝·及qU＝mv2，得U＝，A正确。

[答案]　A

[例5]如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　)

A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1

B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2

C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1

D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2

[解析]如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨迹半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨迹半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m得v＝，故＝＝。由T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝T，所以＝＝。故选项A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

临界极值问题

1．临界条件的挖掘

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析

(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

/

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

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(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直于AB进入磁场的粒子临界轨迹示意图。粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

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[例1]如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 最长时间为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选C　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，此时粒子轨迹对应的圆心角为60°，故t＝＝＝，故选项C正确。

2.如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于某某射入磁场区域，则(　　)

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边某某ab边

D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边某某be边

解析：选D　由r＝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r＝0.3 m，从Od边射入的粒子，出射点分布在be边；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边某某be边；选项D正确。

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