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/　几何应用题

(必考1道，除2015年在填空题中考查外，其余均在解答题中考查，3～9分)

类型一　以三角形为背景

(2019.20，2018.19，2017.17，2016.21，2015.13，2012.22，2011.22)

1. (2019*_**在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15 cm，BD＝5 cm，压柄与托板的长度相等．

(1)当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①，点E从A点滑动了2 cm，求连接杆DE的长度；

(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°时，如图②.求这个过程中，点E滑动的距离．

(结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈3.16，≈8.60)

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第1题图

2. (2019*_**如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12 cm，OM为10 cm，支柱PQ为8 cm.

(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；

(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．(结果精确到0.1)

(参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，sin20.5°≈0.35，cos20.5°≈0.94，tan20.5°≈0.37)

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第2题图

3. (2018*_**如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接．图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.

(1)窗扇完全打开，张某某∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；

(2)窗扇部分打开，张某某∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(结果精确到0.1 cm)．

(参考数据：≈1.73，≈2.45)

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第3题图

4. 探索发现

(1)数学课上，老师出了一道题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，请你在图①中，构造一个合适的等腰直角三角形，求tan22.5°的值．

学以致用

(2)如图②，厂房屋顶人字架(AB＝BD)的跨度为10米(即AD＝10米)，∠A＝22.5°，BC是中柱(C为AD的中点)，请运用(1)中的结论求中柱BC的长．(结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41)

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第4题图

5. (2019**_*如图①，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图②是扶梯侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为45°.

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第5题图

(1)求自动扶梯顶端B点与地面的距离；

(2)若在自动扶梯顶端B点的正上方的楼顶，悬挂一个高CG为2米的广告牌，问一个身高1.9米的人能否正常通过此处．(≈1.73)

6. (2019**_*如图①是一个地铁入口的双翼闸机，示意图如图②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°.

(1)过A作AE⊥CP于E，求AE的长；

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第6题图

(2)当双翼收起时，求闸机内侧的宽度是多少？

7. 小齐同学在海洋馆里玩“奶瓶喂鱼”的游戏，即拿着一根末端绑着奶瓶的竹竿伸进水里喂鱼．第一次他把竹竿放在图中AB的位置，与竖直方向AC的夹角∠CAB＝55°，可是没有几条鱼游过来吃食．在海洋馆工作人员的指导下，第二次他调整了竹竿，使得竹竿处于图中AE的位置，与竖直方向AC的夹角∠CAE＝65°.已知竹竿AB＝AE＝1米，点C、D、E、F在同一水平直线上．

(1)求第一次喂鱼时，竹竿AB处于水面之上的部分(即AD)的长度；

(2)求两次喂鱼时竹竿的入水点之间的距离(即DE)(结果精确到0.1米．参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42)．

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第7题图

8. 健腹轮是一种可锻炼肌肉、关节、减轻体重的小型推动器，由于锻炼时所需要的场地简单，所以深受广大健身者的喜爱．如图①是健身爱好者小明在使用健腹轮锻炼的准备阶段，其侧面示意图如图②，健腹轮⊙O的直径为15 cm，小明的身高166 cm，下肢CD＝100 cm，头部AB＝22 cm，手臂长BO＝60 cm，CD与地面所夹锐角成70°，手臂OB与水平面所夹锐角为80°.(参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34)

(1)求此时小明的臂部C点与地面的距离；

(2)求此时小明的头部A点与地面的距离(结果精确到0.1 cm)．

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第8题图

9. (2019*_**某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°－24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图①所示，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30 cm.

(1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；

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第9题图

(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．

(结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20，≈2.45，≈1.73)

10. (2019舟山)某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°，初始位置如图①，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(示意图②)，工作时如图③，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(示意图④)．

(1)求挖掘机在初始位置时某某BC与AB夹角∠ABC的度数；

(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高多少米？(精确到0.1米)

(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73)

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第10题图

类型二　以特殊四边形为背景

(2014.21，2010.23)

1. (2019株洲)小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．

(1)求BC的长度；

(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点、点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．

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第1题图

2. (2019泰州)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1∶2，顶端C离水平地面AB的高度为10 m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4 m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m．求：

(1)观众区的水平宽度AB；

(2)顶棚的E处离地面的高度EF.

(参考数据：sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1 m)

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第2题图

3. 如图为某工艺品摆件，此摆件可以看做是由长方体书本一角插入水平桌面的空隙EF组成．摆件的主视图是矩形ABCD.经测量，AB＝18 cm，BC＝24 cm，EF＝10 cm.

(1)如图①，若AB＝AE，则CF＝EF吗？说明理由；

(2)如图②，若∠DEF＝60°，求点B到水平桌面的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：≈1.73)

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第3题图

4. (2018**_*如图①，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图②所示的矩形ABCD，其中AB＝3 m，AD＝1 m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2 m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图③所示，此时，AB′与水平方向的夹角为60°.

(1)求点B′到地面的距离；

(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；

(3)一辆高1.6 m，宽1.5 m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4 m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．(参考数据：≈1.73，π≈3.14，所有结果精确到0.1)

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第4题图

类型三　以圆为背景

(2013.21)

1. 图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为点O，铁环钩与铁环相切点为点M，铁环与地面接触点为点A，∠MOA＝α，且sinα＝.

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第1题图

(1)求点M离地面AC的高度BM；

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC＝55 cm，求铁环钩MF的长度．

2. (2019**_*图①是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图②是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16 cm，宽AD＝12 cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关(所有结果保留小数点后一位)．

(1)求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；

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第2题图

(2)如图③，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．

(参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14)

3. (2019**_*已知某学校的文化宣传栏如图①所示，其左视图如图②所示，栏高EG＝2 m，FE＝1 m，顶棚圆弧跨度AB＝1.2 m，弓形高HG＝0.2 m.

(1)求顶棚圆弧所在圆的半径；

(2)已知顶棚的长度是10 m，求顶棚铁皮的面积(结果保留π)；

(3)若大雨天的雨水与地面的倾斜角为60°，试判断雨水是否会淋湿宣传版面MNGF，并说明理由．

(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)

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第3题图

4. (2019**_*如图①为杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驰在球体内壁的示意图，如图②，小华的座位位于A点，他在A点测得演员运动到B点的仰角为45°，若此时B点到A点的距离与球体着地点C到点A的距离相等(A、B、O、C位于同一竖直平面内，且点A、C在同一水平面内)，已知球的直径为12米．

(1)求点A到点C的距离(精确到0.1)；

(2)求演员从B点向下运动到C点时经过的路程．(参考数据：≈1.41，结果保留π)

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第4题图

5. (2019**_*如图①是一个地球仪的平面简图，图②为其截面图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与水平线DE交于点D，所成的角度约为66°，半径OC所在的直线与水平线DE垂直， 垂足为点E.DE＝15 cm，AD＝17 cm.

(1)求地球仪中心点O到水平线DE的距离；

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第5题图

(2)求该地球仪的截面半径．

(结果精确到整数．参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)

6. (2019**_*如图①是某超市的按摩椅，图②是其侧面示意图，当用户躺在靠背AO上之后，开始调节靠背，把OA绕点O旋转35°到OB处，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．

(1)调整后点B比调整前A的高度降低了多少？

(2)求OA在调整过程中扫过的面积．

(结果保留整数．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，π≈3.14)

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第6题图

/参考答案

题型四　几何应用题

类型一　以三角形为背景

1. 解：(1)如解图①，过点D作DH⊥BE于点H，

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第1题解图①

在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，

∴＝sin37°，＝cos37°.

∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3(cm)，BH＝5cos37°≈5×0.8＝4(cm)．

∵AB＝BC＝15 cm，AE＝2 cm，

∴EH＝AB－AE－BH＝15－2－4＝9(cm)．

∴DE＝＝＝3(cm)．

答：连接杆DE的长度为3 cm；

(2)如解图②，过点D作DH⊥AB的延长线于点H，

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第1题解图②

∵∠ABC＝127°，

∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°.

在Rt△DBH中，sin37°＝＝≈0.6，

∴BH＝3 cm.

∴DH＝4 cm.

在Rt△DEH中，∵EH2＋DH2＝DE2，

∴(EB＋3)2＋16＝90.

∴EB＝－3≈8.6－3＝5.6(cm)．

∴点E滑动的距离约为15－5.6－2＝7.4(cm)．

答：这个过程中，点E滑动的距离约为7.4 cm.

2. 解：(1)如解图①，过点P作PC⊥OM于点C，设OC＝x，则CM＝10－x，

∵在Rt△POC中，PO2－OC2＝PC2，

在Rt△PMC中，PM2－MC2＝PC2，

∴PO2－OC2＝PM2－MC2，即122－x2＝82－(10－x)2，

解得x＝9.

在Rt△POC中，cos∠POC＝＝＝0.75，

∴∠POC≈41°.

即∠AOB的度数约为41°；

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第2题解图①

(2)如解图②，过点P作PD⊥ON于点D，

则sin∠PON＝，即sin20.5°＝，

∴PD＝12·sin20.5°≈12×0.35＝4.2(cm)．

在Rt△PDN中，ND＝≈＝≈6.8(cm)．

在Rt△POD中，OD＝OP·cos∠PON＝OP·cos20.5°≈12×0.94＝11.28(cm)．

∴ON＝OD＋ND≈11.28＋6.8＝18.08(cm)．

∴MN＝ON－OM≈18.08－10＝8.08(cm)．

∴相邻两个卡孔的距离约为≈1.6(cm)．

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第2题解图②

3. 解：(1)∵AC＝DE，AE＝CD，

∴四边形ACDE是平行四边形．

∴CA∥DE.

∴∠DFB＝∠CAB＝85°；

(2)如解图，过点C作CG⊥AB于点G，

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第3题解图

∵∠CAB＝60°，

∴AG＝20·cos60°＝10，CG＝20·sin60°＝10.

∵BD＝40，CD＝10，

∴BC＝BD－CD＝30.

在Rt△BCG中，BG＝＝10，

∴AB＝AG＋BG＝10＋10≈34.5(cm)．

4. 解：(1)如解图，在AC截取CE＝BC＝x，连接BE，

∵CE＝BC，∠C＝90°，

∴∠BEC＝45°.

∵∠A＝22.5°，

∴∠ABE＝22.5°.

∴AE＝BE＝x.

∴AC＝x＋x.

∴tan22.5°＝＝＝－1；

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第4题解图

(2)∵C为AD的中点，AB＝BD，

∴AC＝CD＝AD＝5米，

在Rt△ABC中，

tan22.5°＝－1＝＝，

∴BC＝5－5≈2.1(米)，

答：中柱BC的长约为2.1米．

5. 解：(1)如解图，延长CB交PQ于点D.

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第5题解图

∵MN∥PQ，BC⊥MN，

∴BD⊥PQ.

∵自动扶梯AB的坡度为1∶，

∴tan∠BAD＝＝＝.

∴∠BAD＝30°.

∴BD＝AB＝6米．

答：自动扶梯顶端B点与地面的距离为6米；

(2)由(1)可得AD＝BD＝6米，

在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝45°，

∴CD＝AD＝6≈10.38米．

∴BG＝CD－BD－CG≈10.38－6－2＝2.38米>1.9米．

∴一个身高1.9米的人能够正常通过此处．

6. 解：(1)如解图，作AE⊥PC，

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝54×＝27(cm)．

答：AE的长为27 cm；

(2)如解图，过B作BF⊥DQ于F，由(1)得，AE＝27 cm，

同理BF＝27 cm，

又∵点A与B之间的距离为10 cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm)，

答：当双翼收起时，闸机内部的宽度是64 cm.

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第6题解图

7. 解：(1)在Rt△ACE中，AE＝1米，∠CAE＝65°，cos65°＝，

∴AC＝AE·cos65°＝cos65°，

在Rt△ACD中，∠CAD＝55°，cos55°＝，

∴AD＝＝≈0.7 米．

答：第一次喂鱼时，竹竿AB处于水面之上的部分(即AD)的长约为0.7米；

(2)在Rt△ACE中，sin65°＝＝，

∴CE＝sin65°≈0.91米，

在Rt△ACD中，sin55°＝，

∴CD≈0.74·sin55°≈0.61米，

∴DE＝CE－CD≈0.91－0.61＝0.3(米)．

答：两次喂鱼时竹竿的入水点之间的距离(即DE)约为0.30米．

8. 解：(1)如解图，过点C作CE⊥DE于点E，

在Rt△CDE中，sin70°＝，

∴CE＝CD·sin70°≈100×0.94＝94 cm.

∴此时小明的臀部C点与地面的距离约为94 cm；

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第8题解图

(2)如解图，过点A作AM⊥CE于点M，过点O作ON⊥CE于点N，过点B作BG⊥ON交AM、ON于F、G点，在Rt△BOG中，BG＝OB·sin80°≈60×0.98＝58.8(cm)．

∵BF∥CM，

∴△ABF∽△ACM，

∴＝，

又∵AB＝22 cm，AC＝166－100＝66(cm)，

∴CM＝3BF，

∵FB＋FG≈58.80(cm)，CM＋MN＝CE－NE≈94－7.5＝86.5(cm)，

∴FB＝13.85(cm)，MC＝3BF＝41.55(cm)，

∴ME＝CE－CM≈94－41.55＝52.45≈52.5(cm)，

∴小明的头部A点与地面的距离约为52.5 cm.

9. 解：(1)∵在Rt△ACD中，∠DAC＝24°，∠ADC＝90°，

∴sin24°＝.

∴CD＝AC·sin24°≈30×0.40＝12.0(cm)．

∴此时支撑臂CD的长约为12.0 cm；

(2)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，

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第9题解图

当∠BAC＝12°时，

∴sin12°＝，

∴CE＝AC·sin12°≈30×0.20＝6(cm)，

∵CD＝12 cm，

∴DE＝＝＝6(cm)，

∴AE＝＝＝12(cm)，

∴AD1＝AE＋ED＝12＋6≈12×2.45＋6×1.73＝39.78≈39.8(cm)，

AD2＝AE－DE＝12－6≈12×2.45－6×1.73＝19.02≈19.0(cm)．

答：AD的长约为39.8 cm或19.0 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 3＋6＋3＝6＋6≈14.5米；

(2)由(1)知∠BOE＝45°，

∴∠BOC＝∠BOE＋∠EOC＝45°＋90°＝135°.

∴演员从B点向下运动到C点时经过的路程为＝.

5. 解：(1)由题意得，OE⊥DE，

在Rt△ODE中，DE＝15 cm，∠ODE＝66°，

∴OE＝DE·tan∠ODE＝DE·tan66°≈15×2.25≈34 cm.

答：该地球仪中心点O到水平线DE的距离约为34 cm；

(2)在Rt△ODE中，DE＝15 cm，∠ODE＝66°，

∴OD＝≈≈36.59 cm.

∴AO＝OD－AD＝36.59－17≈20 cm.

答：该地球仪的截面半径约为20 cm.

6. 解：(1)根据题意得OA＝OB＝80 cm，∠AOB＝35°，如解图，过点B作BC⊥OA于点C，

在Rt△BOC中，OC＝OB·cos35°≈80×0.82＝65.6 cm，

∴AC＝OA－OC＝80－65.6＝14.4≈14 cm.

∴调整后点B比调整前A的高度降低了约14 cm；

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第6题解图

(2)∵OA＝80 cm，∠AOB＝35°，

∴OA在调整过程中扫过的面积为≈1954 cm2.

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