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,第一章 质点运动学

1-1　已知质点的运动方程为：
，
。式中x、y的单位为m，t的单位为ｓ。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。

分析　由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．

解　(1) 速度的分量式为

当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

设vo与x 轴的夹角为α,则

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

,

则加速度的大小为

设a 与x 轴的夹角为β,则

β＝-33°41′(或326°19′)

1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a＝A-Bv，式中A、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。

分析　本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为
后再两边积分．

解　选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题意知
(1)

用分离变量法把式(1)改写为

(2)

将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

得石子速度

由此可知当,t→∞时,
为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．

(2) 再由
并考虑初始条件有

得石子运动方程

1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k为常数。在关闭发动机后，试证：

（1）船在t时刻的速度大小为
；

（2）在时间t内，船行驶的距离为
；

（3）船在行驶距离x时的速率为v=v0e(kx。

[证明]（1）分离变数得
， 故
，

可得：
．

（2）公式可化为
，

由于v = dx/dt，所以：

积分
．

因此
．

(3 ) 要求 v( x)，可由
，有

积分得

证毕．

1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度v0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

所以小车移动的速度

小车移动的加速度

1-5 质点沿
轴运动，其加速度和位置的关系为
，a 的单位为 m/s2，x 的单位为 m。质点在x=0处，速度为10m/s，试求质点在任何坐标处的速度值。解：

解： ∵

分离变量：

两边积分得

由题知，
时，
,∴

∴

1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角
的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。

解：小球落地时速度为
建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图

（1）

（2）

第二次落地时

所以

1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程
,消去t得轨迹方程

以x＝05.0m ，v＝25ms－1 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。

（1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间；

（2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间；

（3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。

解：由相对速度的矢量关系
有

（1）空气时静止的，即u＝0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度v’（图（1）），故飞机来回飞行的时间

(2) 空气的速度向某某，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反（图（2）），故飞机来回飞行的时间为

(3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由
可得为
，故飞机来回飞行的时间为

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