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常微分方某某练习试卷

填空题。

1. 方某某
是 阶 （线性、非线性）微分方某某.

2. 方某某
经变换
，可以化为变量分离方某某 .

3. 微分方某某
满足条件
的解有 个.

4. 设常系数方某某
的一个特解
，则此方某某的系数
，
，
.

5. 朗斯基行列式
是函数组
在
上线性相关的

条件.

6. 方某某
的只与
有关的积分因子为 .

7. 已知
的基解矩阵为
的，则
.

8. 方某某组
的基解矩阵为　　　　　　　　　　　．

9.可用变换 将伯努利方某某
化为线性方某某. ??

10 .
是满足方某某
和初始条件?????? ?? 的唯一解. ?

11.方某某
的待定特解可取????????? 的形式:???????

12. 三阶常系数齐线性方某某
的特征根是

计算题

1.求平面上过原点的曲线方某某, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

2．求解方某某
.

3. 求解方某某
。

4．用比较系数法解方某某.
.????

5．求方某某
的通解.

6．验证微分方某某
是恰当方某某，并求出它的通解.

7．设
，
，试求方某某组
的一个基解基解矩阵
，求
满足初始条件
的解.

8. 求方某某
通过点
的第二次近似解.

9.求 的通解

10.若 试求方某某组
的解

并求expAt

三、证明题

1. 若
是
的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵
，使得
.

2. 设
是积分方某某

的皮卡逐步逼近函数序列
在
上一致收敛所得的解，而
是这积分方某某在
上的连续解，试用逐步逼近法证明：在
上
.

3. 设
都是区间
上的连续函数, 且
是二阶线性方某某
的一个基本解组. 试证明:

(i)?
和
都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii)?
和
没有共同的零点;

(iii)?
和
没有共同的零点.

4.试证：如果
是
满足初始条件
的解，那么

.

答案

一.填空题。

1. 二，非线性 2.
，
3.无穷多 4.

5.必要 6.
7.
8.
9.

10.
11.

12. 1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方某某, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

解: 设曲线方某某为
, 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为
, 则由题意

可得如下初值问题:

. ???????????????? ??????????????

?分离变量, 积分并整理后可得
. ??????????

?代入初始条件可得
, 因此得所求曲线为
?.

??

2.求解方某某
.

解：由
求得
令

则有
令
，解得
,积分得
,

故原方某某的解为
.

3. 求解方某某

解? 令

，直接计算可得

，于是原方某某化为
?，故有
或
，积分后得
，即

，所以
?
　 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 使得
, 则由行列式性质可得
, 矛盾. 即

?
最多只能有简单零点. 同理对
有同样的性质, 故(i)得证. ???

?? 若存在
, 使得
, 则由行列式性质可得
, 矛盾. 即?
与
无共同零点. 故(ii)得证.??

? 若存在
, 使得
, 则同样由行列式性质可得
, 矛盾.

即
与
无共同零点. 故(iii)得证.???

4.试证：如果
是
满足初始条件
的解，那么

.证明：因为
是
的基本解矩阵，
是其解，所以存在常某某
使得：
，

令
，则：
， 所以
，

故

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