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第12讲 因式分解

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：提公因式法分解因式

类型二：用平方差公式分解因式

类型三：用完全平方公式分解因式

类型四：综合多种方法进行分解因式

类型一：提公因式法分解因式

1．（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．

（2）公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

（3）要善于发现隐蔽的公因式，如（a-b）与（b-a）是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式．

2．提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式，即用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式．

典型例题

例题1．（2022·重庆南开（融侨）中学校八年级阶段练习）单项式
，
，
的公因式是（???）

A．
B．
C．
D．

例题2．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A．
B．

C．
D．

例题3．（2022·全国·八年级专题练习）已知多项式
分解因式后有一个因式是
，则
的值为（???）

A．
B．
C．
D．

例题4．（2022·山东·*_**树人外国语学校八年级阶段练习）分解因式：
______．

例题5．（2022·**_*学八年级阶段练习）已知
，则
的值为 ___________．

例题6．（2021·河北· 八年级阶段练习）把多项式
因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____．

例题7．（2022·宁夏·***）把下列各式因式分解．

(1)

(2)

同类题型演练

1．（2022·陕西·***教学研究室八年级期末）在多项式
中，各项的公因式是（????）

A．
B．
C．
D．

2．（2022·**_*）下列各式的变形中，是因式分解的是（????）

A．
B．

C．
D．

3．（2021·黑龙江·***）若
，则m+n等于（????）

A．21 B．-28 C．1 D．2

4．（2022·陕西·***教学研究室八年级期末）利用因式分解计算：
的结果为（????）

A．
B．1 C．3 D．

5．（2022·黑龙江·*_**学校八年级阶段练习）因式分解：
___________.

6．（2022·广西·*_**）已知
，
则
的值为_________．

7．（2022·**_*）若多项式
有一个因式为
，那么
_____．

8．（2022·山东·*_**学八年级期中）因式分解：

(1)

(2)

(3)

(4)

类型二：用平方差公式分解因式

1．只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式．

2．运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式．

典型例题

例题1．（2022·山东·*_**树人外国语学校八年级阶段练习）将多项式
因式分解正确的是（????）

A．
B．
C．
D．

例题2．（2020·河南·*_**学八年级期中）下列多项式中，分解因式的结果为
的是（　　）

A．
B．
C．
D．

例题3．（2022·全国·八年级专题练习）下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．
B．
C．
D．

例题4．（2022·全国·八年级专题练习）分解因式：
______．

例题5．（2022·全国·八年级专题练习）若
，
，则
___．

例题6．（2022·北京市建华实验学校八年级 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式
，我们可以进行以下操作：
，再利用平方差公式可得
；再如：求代数式
的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：
，于是由平方的非负性可知，当
时，
有最小值
．

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)若多项式
是一个完全平方式，则常数
___________．

(2)分解因式：
________，代数式
的最小值为___________．

(3)试判断代数式
与
的大小，并说明理由．

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