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第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.2 基本不等式（共2课时）

（第1课时）

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本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

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课程目标

学科素养



A. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；

B. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式
等号成立条件, 进一步掌握基本不等式；

C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.

a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；

b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式；

c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；

d.直观想象：运用图像解释基本不等式；

e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；



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1.教学重点：从不同角度探索不等式/的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；

2.教学难点：基本不等式
等号成立条件；

/多媒体

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教学过程

教学设计意图

核心素养目标



（一）、情景导学

如图是在XX召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵某某为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

（二）、探索新知

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A/BCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边

长为a,b（a≠b）,

那么正方形的边长为/．

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为/．

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：/．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，

正方形EFGH缩为一个点，

这时有/．（通过几何画板演示当a=b时的图像）

2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意/实数a,b，我们有/，当且仅当a=b时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为 /

/，/

当且仅当a=b时等号成立

4．（1）基本不等式：如果a>0,b>0,我们用/、/分别代替a、b ，可得/，通常我们把上式写作：基本不等式/（a>0,b>0)（当且仅当a=b时，取等号）

5.基本不等式：（1）在数学中，我们称/为a、b的算术平均数，称/为a、b的几何平均/数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

（2）从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

用分析法证明：证明不等式/

证明：要证/

只要证/

只要证/

只要证/ 显然，是成立的．

当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．

（3）理解基本不等式/的几何意义

探究：你能利用这个图形得出基本不等式/的几何解释吗？

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，A 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 =c=

1

3

时,等号成立.故

1

??

+

1

??

+

1

??

≥9.



通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，增强学生的数学抽象和数学运算素养。



四、小结

1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值

2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。

五、作业

1. 课时练

2. 预习下节课内容

生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；





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