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高中数学 必修2

第六章 平面向量

【6.2】平面向量的运算

1、向量的加法（2）运算法则：三角形法平行四边形

2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－

????

＝

????

就可以把减法转化为加法）

3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）

（4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为

0，

??

2

（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.

（6）向量数量积的性质

①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b?a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝

??·??

.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|.

（7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c

（8）运算性质：类比多项式的乘法公式

【6.3】平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

（7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y 1），b＝（x2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.

（8）中点坐标公式：若P 1，P2的坐标分别是（x1，y 1），（x2，y 2），线段P 1P2的中点P的坐标为（x，y），则??=

??

1

+

??

2

2

??=

??

1

+

??

2

2

.此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

已知两个非零向量，向量a＝（x1，y 1），b＝（x2，y 2），a与b的夹角为θ.

数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2

向量垂直：a⊥b?x1x2＋y1 y2＝0

（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式

①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝

??

2

+??

2

.

②两点间的距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|

????

|＝

（

??

1

－

??

2

）

2

＋

（

??

1

－

??

2

）

2

.

③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x 2，y2），a与b的夹角为θ，则

??=

??·??

|??||??|

=

??

1

??

2

+

??

1

??

2

??

1

2

＋

??

1

2

??

2

2

＋

??

2

2

.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS、SSS、SSA）

符号语言：/；/；/.

在△ABC中，有
，推论：

（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
（R为△ABC的外接圆的半径）

（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式

设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：

①
，
，
；②
，
，
；③
；（5）三角形面积公式：
．

第七章 复数

【7.1】复数的概念

1、数系的扩充和复数的概念（2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

（3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

（4）复数的分类①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：复数

实数（??＝0）

虚数（??≠0）（当??＝0时为纯虚数）

，

②集合表示：

/

2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）

/

（2）复数的几何意义①复数z＝a＋bi（a，b∈R）

一一对应

复平面内的点z（a，b）.

②复数z＝a＋bi（a，b∈R）

一一对应

平面向量

????

.

（3）复平面上的两点间的距离公式：/（/，/）.

（4）复数的模①定义：向量

????

的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.

②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝

??

2

+

??

2

（a，b∈R）.

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.

（5）共轭复数：

??

＝a－bi.

（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

（7）解复数方程若/，在复数集/内有且仅有两个共轭复数根/.

【7.2】复数的四则运算

2、复数的乘、除运算（1）复数的乘法运算

①复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.②复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1·z2＝z2·z1



乘法对加法的分配律

z1（z2＋z3）＝z1 z2＋z1 z3



结合律

（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）



（2）复数的除法运算设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di（c＋di≠0）），则

??

1

??

2

=

??＋????

??＋????

=

（??＋????）（???????）

（??＋????）（???????）

=

????+????

??

2

+

??

2

+

?????????

??

2

+

??

2

??

复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.

3、几个重要的结论①
②
③若
为虚数，则

4、运算律①
②
③

5、关于虚数单位i的一些固定结论：①
②
③
④

第八章 立体几何初步

【8.3】简单几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

（2）圆柱的表面积
（3）圆锥的表面积

（4）圆台的表面积
（5）球的表面积

2、空间几何体的体积（1）柱体的体积
（2）锥体的体积
（3）台体的体积
（4）球体的体积

3、球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（
a）.（3）球与正四面体的组合体：棱长为/的正四面体的内切球的半径为/，外接球的半径为/.

【8.5】空间直线、平面的平行

1、直线与直线平行符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c

（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’

等角定理作用：判定与证明两个角相等。

2、直线与平面平行（1）简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a?α，b?β，a∥b=>a∥α（2）简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a?β，α∩β=b=>a∥b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

3、平面与平面平行简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α

证明方法：反证法（2）符号表示：a?β，b?β，a∩b=P，a’?α，b’?α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α

（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b

（4）两平面平行的相关性质①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，a?α=>a∥β）②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等

③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）

④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例

4、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

【8.6】空间直线、平面垂直

1、异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，

??

2

）；

④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2、直线与平面垂直（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α

3、直线与平面所成的角（3）求法：作出斜线在平面上的射影；

（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

4、直线与平面垂直的性质定理：（1）直线与平面垂直的性质定理1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。

简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b?α=>l⊥b

（2）直线与平面垂直的性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。

简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b

5、点面距、线面距、面面距

（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离

点面距AO范围：AO≥0

（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离

当直线l与平面α相交或l?α时，直线l到平面α的距离为O

（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离

当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为O

6、平面与平面垂直（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。符号表示：α⊥β

（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB?α=>α⊥β

（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。

简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l=>α⊥β

第九章 统计

【9.1】随机抽样

1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．其中个体的个数称为样本容量．

2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

3、简单随机抽样常用的方法：

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽签获取样本号码．

适用于：总体中个体数相对较少

特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限性）；从主体中逐个抽取（逐一性）

（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码．

适用于：总体中个体数相对较多

4、总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，···，YN，则称

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，···，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式

??

=

1

??

??=1

??

??

??

??

??

（3）样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为y1，y2，···，yn，则称

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

5、分层抽样

（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。抽样比＝

样本量

总样本量

（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：①调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量②保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量③有明显分层区分的变量

（3）分层的比例问题：①按比例分层抽样②不按比例分层抽样

（4）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，···，XM表示第1层各个个体的变量值，用X1，X2，···，Xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，···，YN表示第2层各个个体的变量值，用y 1，y2，···，y n表示第2层样本的各个个体的变量值，则：

第1层的总体平均数和样本平均数分别为

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

??

=

??

1

+

??

2

+···+

??

??

??

=

1

??

??=1

??

??

??

总体平均数和样本平均数分别为

??

=

??=1

??

??

??

+

??=1

??

??

??

??+??

??

=

??=1

??

??

??

+

??=1

??

??

??

??+??

在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数

??

估计总体平均数

??

，即

??

=

??

??+??

??

+

??

??+??

??

=

??

??+??

??

+

??

??+??

??

=

??

6、获取数据的基本途径

获取数据的基本途径

适用类型

注意问题



通过调查获取数据

对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据

要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误



通过试验获取数据

没有现存的数据可以查询

严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量



通过观察获取数据

自然现象

借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据



通过查询获得数据

众多专家研究过，其收集的数据有所存储

必须根据问题背景知识“清洗”数据去伪存真



【9.2】用样本估计总体

1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）

（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.

（2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常某某5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.

（3）将数据分组.

（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.

（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示

频率

组距

.小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率.各小长方形的面积和等于1.）

2、其他统计图表

扇形图

直观描述各类数据占总数的比例



条形图和直方图

直观描述不同类别或分组数据的频数和频率



折线图

描述数据随时间的变化趋势



3、第p百分位数

（1）定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据

第2步，计算i＝n×p%

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项某某（i＋1）项数据的平均数

（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数

4、总体集中趋势的估计

（1）众数、中位数和平均数的定义

①众数：一组数据中出现次数最多的数

②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数

③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数

（2）众数、中位数和平均数的比较

名称

优点

缺点



众数

体现了样本数据的最大集中点

众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感



中位数

不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响

对极端值不敏感



平均数

与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感

任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大



5、总体离散程度的估计

（1）一组数据x1，x 2，…，x n的方差和标准差

若数据x1，x 2，…，x n的平均数为

??

，则数据x1，x 2，…，x n的方差为

1

??

??=1

??

（

??

??

?

??

）

2

标准差为

1

??

??=1

??

（

??

??

?

??

）

2

（2）总体方差和标准差

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y 2，…，Y N，总体的平 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率f n（A）估计概率P（A）.

2、随机模拟

（1）随机数的产生

应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行，切不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.

①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌③摸取：从中摸出一个.

这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.

（2）伪随机数的产生

①规则：依照确定的算法.②特点：具有周期性（周期很长）③性质：它们具有类似随机数的性质.

计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.

（3）产生随机数的常用方法：①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.

（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法

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