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第三章　数学中的明珠——勾股定理

第二节　勾股定理的证明

一、内容与内容分析：

1.内容

勾股定理的证明．

2.内容解析

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。勾股定理，揭示了直角三角形的三边之间的数量关系.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但远在毕达哥拉斯出生之前,这一定理早已被人们利用.几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵某某。赵某某创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵某某的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形

的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，

既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、

形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特

风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘某某在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

目标和目标解析

目标

学生上网搜集勾股定理的证明方法，并在课堂上进行交流展示，培养学生搜集整理资料、合作学习的意识和能力。通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，培养学生的民族自豪感。

经历勾股定理的探究过程，培养学生“形数统一”的思想方法。

目标解析

学生上网搜集勾股定理的证明方法，在课堂上进行展示，了解勾股定理相关史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。

学生通过思考、交流、拼图、展示、相互补充，并完善证明过程，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。

教学重点、难点

教学重点：探索并证明勾股定理。

教学难点：勾股定理的探究与证明。

三、教学过程设计

创设问题情境

我们了解了勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。勾股定理，揭示了直角三角形的三边之间的数量关系.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。

2.探究勾股定理的证明

问题1:你认识这个图吗？

师生活动：学生观察图形，根据网上搜集信息回答问题，学生、教师补充。

设计意图：中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最具代表性的是三国时期吴国的数学家赵某某。赵某某创制了一幅“勾股圆方图”，即“赵某某弦图”，它用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。赵某某的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，培养学生的民族自豪感。

问题2：你能用“赵某某弦图”证明勾股定理吗？

师生活动：教师指导学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律，利用正方形和直角三角形的面积关系证明勾股定理。并写出证明过程。

设计意图：“赵某某弦图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。赵某某用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(DB+CD)-(AF+BF)=CE+CD=r+r=2r，即a+b-c=2r

∴ a+b=2r+c.

∴(a+b)2=(2r+c)2。即 a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2

∵SΔABC=，

∴2ab=4 SΔABC，

又∵SΔABC= SΔAOC+SΔAOB+ΔBOC= ++

=  =r2=+rc，

∴4(r2+rc)=4 SΔABC=2ab，

∴a2+b2+2ab=2ab+c2，

∴a2+b2=c2。

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