《高等代数》期末考试卷

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XX大学《高等代数》课程试卷 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷数学*** 各系 2010 年级各专业主考教师：杜某某、林某某试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设 b 为 3 维行向量， V = {(x1, x2 , x3 ) | (x1, x2 , x3 ) = b}，则____。C A) 对任意的 b ，V 均是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； D) 只有当 b ¹ 0 时，V 是线性空间。 2) 已知向量组 I：a1,a2 ,...,a s 可以由向量组 II：b1, b2 ,..., bt 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A) 若向量组 I 线性无关，则 s £ t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s £ t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。 3) 设非齐次线性方某某 AX = b 中未定元个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则____。 D A) 当 r < n 时，方某某 AX = b 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方某某 AX = b 有唯一解； C) 当 r < m 时，方某某 AX = b 有解； D) 当 r = m 时，方某某 AX = b 有解。 4) 设 A 是 m ´ n 阶矩阵， B 是 n ´ m 阶矩阵，且 AB = I ，则____。A A) r( A) = m, r(B) = m ； B) r( A) = m, r(B) = n ； C) r( A) = n, r(B) = m ； D) r( A) = n, r(B) = n 。 æ1 1 1ö 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基x1,x2 ,x3 下的表示矩阵是 çç1 0 1÷÷ ，则j 在基 çè1 1 1÷ø x1, 2x2 ,x3 下的表示矩阵是____。C æ1 2 1ö A) ç ç 2 0 2 ÷ ÷ ； çè 1 2 1 ÷ø æ1 1 2 1ö B) ç1 ç2 0 1 2 ÷ ÷ ； çè 1 1 2 1 ÷ø æ1 2 1ö C) ç1 ç2 0 1 2 ÷ ÷ ； çè 1 2 1 ÷ø æ1 1 2 1ö D) ç ç 2 0 2 ÷ ÷ 。 çè 1 1 2 1 ÷ø 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射， dim V = n, dim U = m 。若 m < n ，则j ____。B A) 必是单某某； B) 必非单某某； C) 必是满射； 1 D) 必非满射。 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷 7) 设 V、U、W 是数域 K 上的线性空间，又设j 、y 、 g 是都是 V 上的线性变换，则下列结论正确的有____个。B ① Ker(j +y ) Í Kerj + Kery ； ② Im (j +y ) Í Imj + Imy ； ③ Kerj Í Ker(gj) ； ④ Imj Í Im(jg ) 。 A) 1； B) 2； C) 3； D) 4。 8) 与数域 K 上的线性空间 V = {(a, b) a, b Î K} 同构的线性空间有____个。C ① W = {(a - b, a + b) a,b Î K} ； ③ W = {(a + b, a + b) a,b Î K} ； A) 1； B) 2； ② W = ìïæ íç ïîè a a + b a b - b ö ÷ ø a, b Î K üï ý ïþ ； ④ W = {(a, a,b) a,b Î K} C) 3； D) 4。二、填空题（32 分. 共 8 题,每题 4 分） 1) 设向量组 a1,a2 ,...,ar 线性无关， b1 = 2a2 + 3a3 + ... + rar ， b2 = a1 + 3a3 + ... + rar ，…… ， br = a1 + 2a2 + ... + (r -1)ar-1 ，br+1 = a1 + 2a2 + ... + (r -1)ar-1 + rar ，则 b1, b2 ,..., br+1 ____（选填 “线性相关”，“线性无关”，“无法确定”）。线性相关 2) 设 I：a1,a2 ,...,a s 和 II：b1, b2 ,..., bt 是线性空间 V 中两个向量组，向量组 I 可由向量组 II 线性表示，且 r(I) = r(II) ，则向量组 I 与向量组 II____（选填“必等价”，“未必等价”），s 与 t ____（选填“必相等”，“未必相等”）。必等价，未必相等 3) 设 a1,a2 ,a3 ,a4 都是 4 维列向量， A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 。已知齐次线性方某某 AX = 0 的通解是 k(0,1,1, 0)¢ 。以 A* 表示 A 的伴随矩阵，则齐次线性方某某 A* X = 0 解空间的维数是____，而____是它的一个基础解某某。3，a1,a2 ,a4 或a1,a3 ,a4 4) 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 分别有 l, m 个线性无关解向量，且 l + m > n ，则 ( A + B)x = 0 ____（选填“必有”，“未必有”）非零解。必有 5) 设{x1,x2 ,...,xn} ，{h1,h2 ,...,hn}是 V 的两组基， (h1,h2 ,...,hn ) = (x1,x2 ,...,xn )P 。又若 V 中向量 a 在基{h1,h2 ,...,hn}下的坐标向量是 X ，则a 在基{x1,x2 ,...,xn} 下的坐标向量是____。 PX 2 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷 6) 设 V1 ， V2 都是 n 维线性空间 V 的子空间，且 dim(V1+V2 ) = dim V1 +1 ，则 dim V2 - dim(V1 I V2 ) = ____。1 7) 设 j 是 V 到 U 的线性映射，且 j (x1 ,x 2 , x3 ) = (h1 ,h 2 ) æ ç è 0 0 1 0 0 1 ö ÷ ø ，其中 {x1 , x2 , x3} ， {h1 ,h 2 } 分别是 V 和 U 的一组基，则 Kerj = ____， Imj = ____。 L(x1) ， U 或 L(h1,h2 ) 8) 设 A = æ ç è 0 1 -1ö 0 ÷ ø ，由 X a AX 定义了 R 2´1 上的线性变换j ，则 j 的不变子空间是____。0 ，R 2´1 三、 (6 分 ) 设向量组 a1,a2 ,a3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系。问下列向量组 a1 + 2a2 + a3 ， 2a1 + a2 + 2a3 ，a1 + a2 + a3 是否也是齐次线性方某某 AX = 0 的一个基础解某某？为什么？ æ1 2 1ö 1 2 1 解：（法一）(a1 + 2a 2 + a3, 2a1 + a2 + 2a3 ,a1 + a2 + a3 ) = (a1,a2 ,a3 ) ç ç 2 1 1÷÷ ， 2 1 1 = 0 ，故不 çè 1 2 1÷ø 1 2 1 是基础解某某。 æ1 2 1ö （法二）因 r ç ç 2 1 1÷÷ = 2 < 3 ，表明它们线性相关，故不是基础解某某。 çè 1 2 1÷ø （法三）因a1 + 2a2 + a3 = 3(a1 + a2 + a3 ) - (2a1 + a2 + 2a3 ) ，故不是基础解某某。四、 (10 分) 设 j 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换，a 是 V 中一个向量，且满足j n-1(a ) ¹ 0 ， j n (a ) = 0 。证明：a,j (a ),...,j n-1(a ) 是 V 的一组基，并求j 在这组基下的表示矩阵。证明：因a,j (a ),...,j n-1(a ) 的个数恰为 V 的维数，因此要证其为 V 的基，仅需证其线性无关即可。事实上，设 k0a + k1j (a ) + ... + kn-1j n-1(a ) = 0 ，（*）将j n-1 同时作用于（*），结合已知条件，得 k0j n-1(a ) = 0 ，又j n-1(a ) ¹ 0 ，故 k0 = 0 。类似的，将j n-2 ， j n-3 ，…，j 作用于（*），得 k1 = 0 ， k2 = 0 ，… ， kn-2 = 0 。进而 kn-1j n-1(a ) = 0 ，由j n-1(a ) ¹ 0 ，故 kn-1 = 0 。 3 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷 æ0 ö j 在 a ,j (a ),...,j n -1 (a ) 下的表示矩阵 ç ç 1 ç 0 O O ÷ ÷。 ÷ ç è 1 0 ÷ ø 五、 (10 分) 设 A 是 n 阶方阵且 r( A) = r 。求证 A2 = A 的充要条件是存在 n ´ r 矩阵 S 和 r ´ n 矩阵 T ，使得 A = ST ，TS = Ir ， r(S ) = r(T ) = r 。证明：充分性。直接计算 A2 = STST = SIT = A 。必要性。对矩阵 A，存在可逆矩阵 P，Q 使得 A = P æ ç I r è ö 0 ÷ ø Q = æ Pç è Ir 0 ö ÷ (Ir ø , 0)Q 。令 S = æ Pç è Ir 0 ö ÷ ø ， T = (Ir , 0)Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是 n ´ r 矩阵和 r ´ n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以 r(S ) = r(T ) = r 。下证TS = Ir 。由 A2 = A ，得因 P，Q 可逆，所以 P æ ç I r è 0 ö ÷ ø QP æ ç è I r ö 0 ÷ ø Q = A2 = A = æ Pç è Ir 0 ö ÷ ø Q 。（*） æ Ir ç è 0 ö ÷ ø = æ ç è Ir 0 ö ÷ ø QP æ ç è I r 0 ö ÷ ø 。（**）（法一）（10 级尹思文）将（*）等式两边分别左乘 ( I r , 0) P -1 ，右乘 Q -1 æ ç è Ir 0 ö ÷ ø ，得 (I r , 0)QP æ ç è Ir 0 ö ÷ = ø Ir ，即TS = Ir 。（法二）（10 级李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静）由（**）， TS = (Ir , 0)QP æ ç è Ir 0 ö ÷ ø = (Ir , 0) æ ç è Ir 0 ö ÷ ø QP æ ç è I r 0 ö ÷ ø æ ç è Ir 0 ö ÷ ø = (Ir , æ 0) ç è Ir 0 ö ÷ ø æ ç è Ir 0 ö ÷ ø = I r 。（法三）（**）式 = æ ç è Ir 0 ö ÷ ø (Ir , 0)QP æ ç è Ir 0 ö ÷ ø (Ir , 0) = æ ç è Ir 0 ö ÷ TS ø (Ir , 0) = æTS ç è 0 ö ÷ ø (Ir , 0) = æ TS ç è ö 0 ÷ ø ，故TS = Ir 。必要性。（法四）（10 级李荣刚）将 A 视为线性变换j 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵，由同构对应，则j 2 = j 。设j 的秩为 r，{xr+1,...,xn} 是 Kerj 的一组基，将扩成{x1,...,xr ,xr+1,...,xn} 为 V 的一组基，则j(x1),...,j(xr ) 线性无关，且可证{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}是 V 的一组基。事实上，因为 V 的维数是 n，因此只要证明{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}线性无关即可。设 4 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷 k1j(x1) + ... + krj (xr ) + x kr+1 r+1 + ... + knxn = 0 ，将j 作用于式子两边，结合j 2 = j ，得 j(k1j(x1) + ... + krj(xr ) + kr+1xr+1 + ... + knxn ) = k1j (x1) + ... + krj (xr ) = 0 ，由j(x1),...,j(xr ) 的线性无关性，得 k1 = ... = kr = 0 ，进而 kr+1 = ... = kn = 0 。因此 j (j (x1 ), ..., j (xr ), xr +1 ,..., xn ) = (j (x1 ), ..., j (x r ), x r +1 , ..., xn ) æ ç I r è 0 ö ÷ ø 。这说明存在可逆矩阵 P，使得 P-1 AP = æ ç Ir è ö 0 ÷ ø 。令 S = æ Pç è Ir 0 ö ÷ ,T ø = (Ir , 0)P-1 ，则 A = ST ， TS = Ir ， r(S ) = r(T ) = r 。（法五）（10 级才子佳，高eで啵撇皆荆智俚龋┮?A2 = A ，所以存在可逆矩阵 P，使得 A = P æ ç Ir è 0 ö ÷ ø P -1 。另 S = P æ ç è Ir 0 ö ÷ ,T ø = (Ir , 0)P-1 ，则 A = ST ， TS = Ir ， r(S ) = r(T ) = r 。主要错误：法二、法三中TS = I 没有证明。六、 (10 分) 设 V 是数域 K 上 n 维线性空间，j, s 是 V 上线性变换，且j 2 = 0 ， s 2 = 0 ， js +sj = idV ，其中 idV 是 V 上恒等变换。求证：（1） V = Kerj Å Kers ；（2）V 必是偶数维线性空间。证明：（1）对 "a Î V ，a = js (a ) + sj(a ) = b + g 。由已知j 2 = 0 ，s 2 = 0 ，得j(b ) = j 2 (s (a )) = 0 ， s (g ) = s 2 (j(g )) = 0 ，即 b Î Kerj ， g Î Kers 。说明 V = Kerj + Kers 。此外，对 "a Î Kerj I Kers ，j(a ) = 0,s (a ) = 0 。由js +sj = idV ，得a = js (a ) + sj(a ) = 0 。说明 Kerj I Kers = 0 。综上，即得 V = Kerj Å Kers 。（2）（法一）设 r(j ) = r ，则 dim Kerj = n - r 。由（1），若 {x1,x2 ,...,xr } 是 Kers 的一组基， {xr+1,xr+2 ,...,xn} 是 Kerj 的一组基，则 {x1,x2 ,...,xr ,xr+1,xr+2 ,...,xn} 是 V 的一组基。从而 j(x1),j(x2 ),...,j(xr ) 线性无关，且由j 2 = 0 ，知j(x1),j (x2 ),...,j(xr ) Î Kerj ，意味着 r £ n - r 。同理， 5 1011 学年第一学期XX大学《高等代数》期末试卷 s (xr+1),s (xr+2 ),...,s (xn ) 线性无关，且由 s 2 = 0 ，知 s (xr+1),s (xr+2 ),...,s (xn ) Î Kers ，意味着 n - r £ r 。因此 n - r = r ，即 n = 2r 。（法二）（10 吴璇）设{x1,x2 ,...,xr } 是 Kers 的一组基，由于j 2 = 0 ，所以j(xi ) Î Kerj,1 £ i £ k 。下面证明j(x1),j (x2 ),...,j(xk ) 线性无关。事实上，设 c1j (x1) + c2j(x2 ) + ... + ckj(xk ) = 0 。两边同时作用s ，则 c1sj(x1) + c2sj(x2 ) + ... + cksj(xk ) = 0 （*）而xi = js (xi ) + sj(xi ) = sj (xi ) ，所以（*）式即为 c1x1 + c2x2 + ... + ckxk = 0 ，从而 ci = 0,1 £ i £ k 。因此j(x1),j (x2 ),...,j(xk ) 线性无关。故 k = dim Kers £ dim Kerj 。同理，dim Kerj £ dim Kers 。从而 dim Kerj = dim Kers ，则 dim V = dim Kers + dim Kerj = 2k 为偶数。附加题：（10 分）设j ，s 是 n 维线性空间 V 上线性变换，且 r(j ) + r(s ) £ n 。证明：存在 V 上可逆变换t ，使得 jts = 0 。证明：（法一）设{x1,x2 ,...,xn} 是 V 的一组基，j 和s 在该基下的表示矩阵分别是 A 和 B 。 æ Ir ö æ0 ö 对 A, B 分别存在可逆阵 P, Q, S,T ，使得 A = P ç ç 0 ÷ ÷ Q ，B = S ç ç Ik ÷ ÷ T 。令 C = Q-1S -1 ， çè 0 ÷ø çè 0 ÷ø 则 C 可逆，且 ABC = 0 。定义 V 上线性变换t (x1,x2 ,...,xn ) = (x1,x2 ,...,xn 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。璇）设 r(s ) = k ，即 dim Ims = k 。记 {h1,h2 ,...,hk } 是 Im s 的一组基，扩为 {h1,...,hk ,hk+1,...,hn} 为 V 的一组基。设 r(j ) = r ，即 dim Imj = r ，则 dim kerj = n - r 。记 {x1,x2 ,...,xn-r } 是 kerj 的一组基，扩为 {h1,...,hn-r ,hn-r+1,...,hn} 为 V 的一组基。定义 V 上线性变换t :hi a xi ,1 £ i £ n ，则t 是 V 上可逆线性变换（因将 V 的基映射为 V 的基）。下证 jts = 0 。对任意 a Î V ， s (a ) Î Ims ， s (a ) = c1h1 + c2h2 + ... + ckhk 。因 r(s ) + r(j) = k + r £ n ，所以 k £ n - r ，且jt (hi ) = j (xi )0,1 £ i £ k ，进而 jts (a ) = jt (c1h1 + c2h2 + ... + ckhk ) = 0 。 7 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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