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华师大版九年级下册数学知识点总结

第二十六章 二次函数

一、二次函数概念：

1、二次函数的概念：一般地，形如y ? ax ?bx ?c （a，b，c 是常数， ）的函数，

2

a ? 0

叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ? 0 ，而b，c 可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数y ? ax2 ?bx ?c 的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2。

⑵ a，b，c是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。

a

b

c

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y ? ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符 开口方 顶点坐 对称

性质

号

向

标

轴

x ? 0 时，y 随x 的增大而增大；

a ? 0

向上

?0，0?

轴

x ? 0 y x

时， 随 的增大而减小；

y

y

x ? 0 时，y 有最小值0 。

时，y 随x 的增大而减小；

时， 随 的增大而增大；

x ? 0

a ? 0

向下

?0，0?

轴

x ? 0

y

x

x ? 0

时，y 有最大值0 。

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2. y ? ax2 ?c 的性质：

a的符 开口方 顶点坐 对称

性质

号

向

标

轴

x ? 0 时，y 随x 的增大而增大；

?0，c?

轴

时， 随 的增大而减小；

x ? 0 y x

a ? 0

向上

y

y

x ? 0 时，y 有最小值c 。

x ? 0 时，y 随x 的增大而减小；

a ? 0

向下

?0，c?

轴

x ? 0 y x

时， 随 的增大而增大；

x ? 0 时，y 有最大值c 。

3. y ? a x ?h 的性质：

?2

?

a的符 开口

顶点 对称

性质

号

方向

坐标

轴

x ? h 时， y 随x 的增大而增大；

向上

?h，0?

X=h

时， 随 的增大而减小；

x ? h y x

a ? 0

x ? h 时，y 有最小值0 。

x ? h 时， y 随x 的增大而减小；

向下

?h，0?

X=h

时， 随 的增大而增大；

x ? h y x

a ? 0

x ? h 时，y 有最大值0 。

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2

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4. y ? a x ?h ?k 的性质：

?2

?

a的符 开口

顶点 对称

性质

号

方向

向上

坐标

轴

x ? h 时，y 随x 的增大而增大；x ? h 时，y 随

x 的增大而减小；x ? h 时，y 有最小值k 。

x ? h 时，y 随x 的增大而减小；x ? h 时，y 随

x 的增大而增大；x ? h 时，y 有最大值k 。

?h，k?

X=h

a ? 0

a ? 0

向下

?h，k?

X=h

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y ? a?x ?h?

?h，k?；

⑵ 保持抛物线y ? ax2 的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法

2

?k ，确定其顶点坐标

如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

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3

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方法二：

⑴ y ? ax

y ? ax

2

2

2

?bx ? c 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，

?bx ? c 变成 y ? ax

2

?bx ? c ? m（或 y ? ax ?bx ? c ? m ）

2

⑵ y ? ax

?bx ? c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，

y ? ax

2

?bx ? c 变成 y ? a(x ? m)

2

?b(x ? m) ? c （或 y ? a(x ? m) ?b(x ? m) ? c）

2

四、二次函数 y ? a?x ?h?

2

?k 与 y ? ax2 ?bx ?c 的比较

从解析式上看，y ? a?x ?h? ?k 与y ? ax2 ?bx ?c 是两种不同的表达形式，后者通过

2

b ?2 4ac ?b

b

4ac ?b

4a

?

?

2

2

配方可以得到前者，即y ? a x ?

?

?

，其中h ? ? ，k ?

。

?

2a ?

4a

2a

五、二次函数 y ? ax2 ?bx ?c 图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y ? ax ?bx ?c 化为顶点式y ? a(x ?h) ? k ，确

2

2

定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点

画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对

?

?

?

?

称轴对称的点 2h，c 、与x 轴的交点 x ，0 ， x ，0 （若与x 轴没有交点，则取

?

?

?

?

?

?

1

2

两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y

轴的交点.

六、二次函数 y ? ax2 ?bx ?c 的性质

?

4ac ?b

2

?

b

b

1. 当a ? 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x ? ? ，顶点坐标为 ?

，

。

?

?

2a

? 2a

4a

?

b

b

b

当x ? ? 时，y 随x 的增大而减小；当x ? ? 时，y 随x 的增大而增大；当x ? ?

2a

2a

2a

4ac ?b

4a

2

时，y 有最小值

。

?

4ac ?b

2

?

b

b

2. 当a ? 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x ? ? ，顶点坐标为 ?

，

。

?

?

2a

? 2a

4a

?

b

b

b

当x ? ? 时，y 随x 的增大而增大；当x ? ? 时，y 随x 的增大而减小；当x ? ? 时，

2a

2a

2a

4ac ?b

4a

2

y 有最大值

。

七、二次函数解析式的表示方法

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1. 一般式：y ? ax ?bx ?c （ ， ， 为常数， ）；

2

a

b

c

a ? 0

2. 顶点式：y ? a(x ?h)2 ? k （a，h，k 为常数，a ? 0）；

3. 两根式：y ? a(x ? x )(x ? x ) （ ，x ，x 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.

a ? 0

x

1

2

1

2

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次

函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即b ?4ac ? 0时，抛物

x

2

线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互

化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y ? ax2 ?bx ?c 中，a作为二次项系数，显然a ? 0 。

⑴ 当a ? 0 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，

开口越大；

⑵ 当a ? 0 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，

开口越大。

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a

的大小决定开口的大小。

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在a ? 0 的前提下，

b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

2a

b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；

2a

b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。

2a

⑵ 在a ? 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即

b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

2a

b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；

2a

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b

当b ? 0时，? ? 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧。

2a

总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置。

b

ab的符号的判定：对称轴x ? ? 在 y 轴左边则ab ? 0，在 y 轴的右侧则

2a

ab ? 0，概括的说就是“左同右异”

总结：

3. 常数项c

⑴ 当c ? 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵

坐标为正；

⑵ 当c ? 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵

坐标为0 ；

⑶ 当c ? 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵

坐标为负。

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置。

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法

求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。

一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

九、二次函数图象的对称

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二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

y ? ax

2

?bx ?c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y ? ?ax

2

?bx ?c ；

?k ；

? ? ? ?

y a x h

2

?k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y ? ?a?x ?h?

2

2. 关于y 轴对称

y ? ax

2

?bx ?c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y ? ax ?bx ?c ；

2

? ? ? ?

y a x h

2

?k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y ? a?x ?h?

2

?k ；

3. 关于原点对称

y ? ax

2

?bx ?c 关于原点对称后，得到的解析式是y ? ?ax

2

?bx ?c ；

? ? ? ?

y a x h

2

?k 关于原点对称后，得到的解析式是y ? ?a?x ?h? ?k ；

2

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）

b

2

y ? ax

2

?bx ?c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ? ?ax

2

?bx ?c ? ；

2a

? ? ? ?

y a x h

2

?k 关于顶点对称后，得到的解析式是y ? ?a?x ?h?

2

?k 。

5. 关于点 m，n 对称

?

?

? ? ? ?

y a x h

2

?k 关于点?m，n?对称后，得到的解析式是y ? ?a?x ?h? 2m?

? 2n? k

2

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生

变化，因此 a 永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或

方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知

的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方

向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程ax ?bx ?c ? 0 是二次函数y ? ax ?bx ?c 当函数值y ? 0 时的特殊情况.

2

2

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图象与x 轴的交点个数：

① 当? ? b ? 4ac ? 0 时，图象与x 轴交于某某A x ，0 ，B x ，0 (x ? x ) ，其中的x ，x 是

2

?

?

?

?

1

2

1

2

1

2

b

2

?4ac

一元二次方程ax ?bx ?c ? 0 a ? 0 的两根。这两点间的距离AB ? x ? x ?

.

2

?

?

2

1

a

② 当? ? 0时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当? ? 0时，图象与x 轴没有交点.

1' 当a ? 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y ? 0 ；

2' 当a ? 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y ? 0。

2. 抛物线y ? ax2 ?bx ?c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为

顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax2 ?bx ?c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函

数中a，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的

点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 ?bx ?c(a ? 0) 本身就是所

含字母x 的二次函数；下面以a ? 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元

二次方程之间的内在联系：

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? ? 0

? ? 0

? ? 0

抛物线与 x 轴 二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个

有两个交点 可零、可负 不相等实根

抛物线与 x 轴 二次三项式的值为非 一元二次方程有两个

只有一个交点 负 相等的实数根

抛物线与 x 轴 二次三项式的值恒为 一元二次方程无实数

无交点

二次函数图像参考：

正

根.

十一、函数的应用

?

刹车距离

?

二次函数应用 何时获得最大利润

?

?

最大面积是多少

?

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第二十七章：《圆》

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr 或 C=πd、圆的面积：S=πr2

圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或 S=π（R2-r2）(R 是大圆半径，r 是小圆半

径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等

于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线

距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

A

1、点在圆内 ? d ? r ? 点C 在

d

圆内；

r

O

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B

d

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2、点在圆上 ? d ? r ? 点B 在圆上；

3、点在圆外 ? d ? r ? 点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点；

2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点；

3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点；

r

d=r

r

d

d

四、圆与圆的位置关系

外离（图 1）? 无交点

? d ? R?r ；

外切（图 2）? 有一个交点 ? d ? R?r ；

相交（图 3）? 有两个交点 ? R?r ? d ? R?r ；

内切（图 4）? 有一个交点 ? d ? R?r ；

内含（图 5）?

无交点

? d ? R?r ；

d

d

r

d

r

r

R

R

R

图2

图1

图3

d

d

r

r

R

R

图4

图5

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11

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五、垂径定理

垂径定理：垂直于某某的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另

一条弧

以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知

道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：

①AB 是直径 ②AB ? CD ③CE ? DE ④ 弧BC ?弧BD ⑤ 弧AC ?弧AD

中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。

A

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧

即：在⊙O中，∵AB ∥

∴弧AC ?弧BD

相等。

D

C

O

E

O

CD

B

D

A

C

B

六、圆心角定理

顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，

弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个

中，

结 论

E

F

只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结

O

C

论，

D

即：①?AOB ? ?DOE ；②AB ? DE ；

A

B

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③OC ? OF ；④ 弧BA ?弧BD

七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角

的一半。

C

B

O

A

即：∵?AOB和?ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角

∴?AOB ? 2?ACB

2、圆周角定理的推论：

D

C

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵?C 、?D 都是所对的圆周角

∴?C ? ?D

B

O

A

C

推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所

对的弧是半圆，所对的弦是直径。

B

A

O

即：在⊙O中，∵AB 是直径

或∵?C ? 90?

∴AB 是直径

∴?C ? 90?

C

推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三

角形是直角三角形。

B

A

O

即：在△ABC 中，∵OC ? OA ? OB

好 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 分个体，样本容量是 的数量

样本包含的个体数量

普查是对所有对象进行调查，

抽样调查是对部分对象进行调查

使样本具有代表性，不偏向总

体中的某些个体，对每个个体都公

平的方法，就是用抽签的方法决定

个体进入样本

普查与抽样调查

普查与抽样调查的范围不同

简单的随机抽样对总体中每

个个体来说，被抽到的机会是均

等的

简单的随机抽样

随机性

在抽样前，不能预测哪些个体

会被抽中，这种不能事先预测结果

的特性称为随机性

随机性是抽取样本具有代表

性的重要保障

⑴样本在总体中需有代表性；

⑵样本容量应该足够大；

⑶样本要避免遗漏某一个群

体

用随机抽样的方法获取样本，

抽样调查的可靠性 且样本容量合适时，由样本得出的

特性会更接近总体的特性

通过媒体收集信息，将信息进

分析角度不同，得到的结论也

会不同

借助调查作决策

行全面、科学地分析

媒体中数据很多，有许多有用

的信息，但信息不一定可靠，要全

面分析

容易误导决策的统

计某某

考虑信息的时效性、可靠性和

代表性

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