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第1讲　开普勒定律　万有引力定律及其成就

一、开普勒定律

1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

各定律的适用对象不同

(1)开普勒第二定律针对的是同一个行星在运行过程中的规律。

(2)开普勒第一、三定律针对的是绕太阳运行的不同行星的运行规律。

二、万有引力定律及其应用

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。

2．表达式：F＝G。

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两物体的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。

考点1　开普勒行星运动定律(基础考点)

1．(单选)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则(　　)

A. v1>v2，v1＝

B. v1>v2，v1>

C. v1S2

B. 卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度

C. T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴

D. T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴

3．(单选)若“嫦娥五号”卫星在距月球表面H处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，其运行周期为T；随后“嫦娥五号”在该轨道上某点采取措施，使卫星降至椭圆轨道Ⅱ上，如图所示。若近月点接近月球表面，而H等于月球半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的运行周期为(　　)

A. T B. T

C. T D. T

4．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)

A. 从P到M所用的时间等于 

B. 从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小

D. 从M经Q到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

考点2　万有引力定律及其应用(能力考点)

考向1　万有引力定律的理解　

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg；二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋ mω2R。

(2)在两极上：G＝mg2。

2．星体表面上的重力加速度

(1)星体表面附近的重力加速度g(不考虑星体自转)：mg＝G，得g＝。

(2)在星体上空距离球心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。

1、 (单选)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到0的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)

A. m B. m

C. m D. m

2．（单选）已知引力常量，根据下列选项提供的数据，可以估算地球与月球之间距离的是(　　)

A. 月球绕地球公转的周期和月球的半径 B. 月球的质量和月球的半径

C. 地球的质量和月球绕地球公转的周期 D. 地球的质量和地球的半径

3．（单选）火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)

A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5

4．(单选)2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随 h变化关系的图像是(　　)

A　　　　　　　 B C　　　 　　　　D

考向2　万有引力定律的应用

估算天体质量和密度的“四点”注意

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，而不能估算环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有卫星在天体表面附近时，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3 中的“R”只能是中心天体的半径。

(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。

(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。

1、 (单选)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A. 5×109 kg/m3 B. 5×1012 kg/m3 C. 5×1015 kg/m3 D. 5×1018 kg/m3

2、 (多选)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞“照片”。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为 ＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)

A. 该黑洞的质量M＝

B. 该黑洞的质量M＝

C. 该黑洞的半径R＝

D. 该黑洞的半径R＝

3．(多选)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是(　　)

A. 月球平均密度为  B. 月球平均密度为 

C. 月球表面重力加速度为  D. 月球表面重力加速度为 

4．（单选）土星最大的卫星叫“泰坦”，如图所示，它每16天绕土星运转一周，其公转轨道半径约为 1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)

A. 5×1017 kg　

B. 5×1026 kg

C. 7×1033 kg　

D. 4×1036 kg

5．（单选）随着航天技术的发展，人类已经有能力到太空去探索未知天体。假设某宇宙飞船绕一行星在其表面附近做匀速圆周运动，已知运行周期为T，航天员在离该行星表面附近h处自由释放一小球，测得其落到行星表面的时间为t，则这颗行星的半径为(　　)

A.  B.  C.  D. 

6．（单选）已知月球表面的重力加速度g0为地球表面重力加速度g的 ，若月球半径R0约为地球半径R的 ，则月球密度ρ0与地球密度ρ的比值约为(　　)

A. 1∶1 B. 2∶3 C. 6∶1 D. 2∶1

第2讲　宇宙航行

一、卫星运行规律

1．卫星绕地球运转过程中，受到的地球的引力提供其做圆周运动所需的向心力。

2．地球同步卫星的六个“一定”

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h。

(3)高度一定：根据G＝mr，解得卫星离地面的高度 h＝r－R≈5.6R。

(4)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(5)速率一定：v＝ωr＝3.08 km/s。

(6)绕行方向一定：与地球自转方向一致。

二、宇宙速度

1．第一宇宙速度(7.9 km/s)

(1)人造卫星最小的发射速度； (2)人造卫星最大的环绕速度。

2．第二、三宇宙速度　时空观

(1)第二宇宙速度(11.2 km/s)，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

(2)第三宇宙速度(16.7 km/s)，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

(3)经典时空观：在经典力学里，物体的质量是不随运动状态而改变的；同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

(4)相对论时空观：在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

考点1　人造卫星运行问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1、（单选）北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)

A. 周期大 B. 线速度大 C. 角速度大 D. 加速度大　　　　　　　　　　　　　　　

2、（单选）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)

A. 1 h B. 4 h C. 8 h D. 16 h

3．(单选)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a火 B. a火>a地>a金 C. v地>v火>v金　　 D. v火>v地>v金

4．(单选)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间内可认为绕月球做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g，则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)

A.  B.  C.  D. 

5．（单选）2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，“嫦娥五号”取土后，在P处由圆形轨道 Ⅰ 变轨到椭圆轨道 Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是(　　)

A. “嫦娥五号”在轨道Ⅰ和Ⅱ上运行时均超重

B. “嫦娥五号”在轨道Ⅰ和Ⅱ上运行时机械能相等

C. “嫦娥五号”在轨道Ⅰ和Ⅱ上运行至P处时速率相等

D. “嫦娥五号”在轨道Ⅰ和Ⅱ上运行至P处时加速度大小相等

6.(单选)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)

A. 轨道周长之比为2∶3

B. 线速度大小之比为 ∶

C. 角速度大小之比为2∶3

D. 向心加速度大小之比为9∶4

4．(多选)2019年11月我国首颗亚米级高分辨率光学传输型立体测绘卫星高分七号成功发射，高分七号在距地约600 km的圆轨道上运行，前期发射的高分四号在距地约 36 000 km 的地球同步轨道上运行，关于这两颗卫星，下列说法正确的是(　　)

A. 高分七号比高分四号运行速率大

B. 高分七号比高分四号运行周期大

C. 高分七号比高分四号向心加速度小

D. 相同时间内高分七号与地心连线扫过的面积比高分四号小

5．(多选)“鹊桥”号是世界首颗运行于地月拉格朗日L2点附近的中继通信卫星。如图所示，它以地月连线为轴做圆周运动，同时随月球绕地球运转。已知地球质量为M，月球质量为m，月球的轨道半径为r，公转周期为T，引力常量为G。当卫星处于地月拉格朗日L1或L2点时，都能随月球同步绕地球做圆周运动。则以下说法正确的是(　　)

A. “鹊桥”号仅受月球引力作用

B. 在拉格朗日L2点工作的卫星比在拉格朗日L1点工

作的卫星的线速度大

C. 在拉格朗日L1点工作的卫星，受到的地球引力一定大于月球对它的引力

D. 拉格朗日L2点与地心的距离为 

6．（单选）2019年11月5日，我国成功发射了“北斗三号卫星导航系统”的第3颗倾斜地球同步轨道卫星。“北斗三号卫星导航系统”由静止地球同步轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星、中圆地球轨道卫星组成。同步轨道卫星的轨道周期等于地球自转周期，卫星运行轨道面与地球赤道面的夹角叫作轨道倾角。根据轨道倾角的不同，可将同步轨道分为静止轨道(倾角为0)、倾斜轨道(倾角不为0)和极地轨道。根据以上信息，下列说法正确的是(　　)

A. 倾斜地球同步轨道卫星的高度大于静止地球同步轨道卫星的高度

B. 倾斜地球同步轨道卫星的线速度小于静止地球同步轨道卫星的线速度

C. 可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星，静止在北京上空

D. 可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星，每天同一时间经过北京上空

考点2　宇宙速度

1、 (单选)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)

A. 火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度

B. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间

C. 火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度

D. 火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

2．(单选)2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器月面点火，3 000 N发动机工作约6 min后，顺利将携带月壤的上升器送入到预定环月轨道，成功实现中国首次地外天体起飞。已知月球的质量约为地球的 ，半径约为地球的 ，地球上第一宇宙速度约为7.9 km/s，则“嫦娥五号”最小的“起飞”速度约为(　　)

A. 1.8 km/s B. 2.6 km/s C. 3.9 km/s D. 4.5 km/s

3．(单选)2019年4月10日，“事件视界望远镜(EHT)”项目团队发布了人类历史上的首张黑洞“照片”，我国科学家也参与其中，作出了巨大贡献。经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的  倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D. 

4、（单选）某行星的自转周期为T，行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的  时间内有  的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为(　　)

A.  B.  C.  D. 

5、（单选）如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ ，则卫星A、B的线速度之比为(　　)

A. sin θ B. 

C.  D. 

6．（单选）2020年3月9日19时55分，我国在西昌卫星发射中心，成功发射北斗系统第54颗导航卫星北斗三号CEO-2，它是一颗地球同步轨道卫星，以下关于这颗卫星的判断正确的是(　　)

A. 地球同步轨道卫星的运行周期为定值

B. 地球同步轨道卫星所受引力保持不变

C. 地球同步轨道卫星绕地运行中处于平衡状态

D. 地球同步轨道卫星的在轨运行速度等于第一宇宙速度

四　天体运动中的“四类”热点问题

类型1　近地卫星、同步卫星和

赤道上物体的比较

1．命题规律

本专题是万有引力定律在天体运动中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星，它与近地卫星都是卫星，遵循万有引力提供向心力，赤道上的物体不是卫星，不满足引力提供向心力，但是其与同步卫星具有相同的角速度。此类问题在高考中有时以选择题的形式出现。

2．复习指导

复习过程中，把握其重点和突破口，卫星从万有引力提供向心力进行突破，同步卫星和赤道上的物体从角速度相同进行突破，通过同步卫星将赤道上的物体和近地卫星进行衔接，题型相对比较单一，规律比较简单。

解此题抓住以下两个环节：

(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(或周期)；

(2)赤道上的物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。

近地卫星、同步卫星和赤道上静止物体的比较

近地卫星

(r1、ω1、v1、a1)

同步卫星

(r2、ω2、v2、a2)

赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)



向心力

万有引力

万有引力

万有引力的一个分力



轨道半径

r2>r1＝r3



角速度

由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2

同步卫星的角速度与地球的自转角速度相同，故ω2＝ω3





ω1>ω2＝ω3



线速度

由 G＝m 得v＝，故v1>v2

由v＝ωr得v2>v3





v1>v2>v3



向心加速度

由G＝ma得a＝，故a1>a2

由a＝ω2r得a2>a3





a1>a2>a3



1、（单选）有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有(　　)

A. a的向心加速度等于重力加速度g

B. 在相同时间内b转过的弧长最长

C. c在4 h内转过的圆心角是 

D. d的运动周期有可能是20 h

类型2　卫星的变轨和能量问题

1．命题规律

卫星变轨问题是万有引力定律在天体运动中的特殊运用，通过控制卫星运行参量的改变，使其做近心或离心运动实现运行轨道的改变，从而对相关联的物理参量进行比较。本部分命题 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 卫星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。

②当两卫星在中心天体异侧时，那么当t满足下列关系式时两卫星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。

1、 (多选)2019年7月19日21时06分，“天宫二号”再入大气层，少量残骸落到南太平洋预定安全海域，绝大部分器件在再入大气层过程中，由于空气阻力的作用烧蚀销毁，对航空活动以及地面造成危害的可能性极小。如图所示，a是“天宫二号”飞行器，b、c是地球同步卫星，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，“天宫二号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则(　　)

A. “天宫二号”飞行器a的周期小于24 h

B. 卫星b的机械能一定等于卫星c的机械能

C. 若“天宫二号”飞行器a在下落的过程中质量保持不变，

则“天宫二号”飞行器a的机械能将增加

D. 若“天宫二号”飞行器a和卫星b均沿逆时针方向转动，则到下一次相距最近，还需经过时间 t＝

绕同一天体运动且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到第二次相距最近，实际情况就是周期小的比周期大的多转过了 2π rad (即一圈)。

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