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第一讲、投入产出表与模型
本讲内容
□投入产出实物表和价值表
□按行建立的数学模型
□按列建立的数学模型
□投入产出模型中的其他系数
□投入产出模型实例
投入产出模型：以整个国民经济为描述对象，反映某一时间内(通常为一年)各产品(或部门)间投入与产出的内在联系。
表与模型：每种模型均有两种表现形式，即投入产出表和与其对应的投入产出数学模型。
实物表与价值表： 按所使用的计量单位划分，它主要包括实物型和价值型两种
一、实物型与价值型投入产出表
1、实物表与价值表表式
实物表
价值表
价值表的量值均采用货币计量单位，使价值模型较实物模型发生了很大变化，其应用功能得到进一步的扩展
2、表的主栏和宾栏构成
（1）、主栏——投入栏
实物表：
这里只有物质产品投入，即产品生产中的各种物质消耗，共有n种产品；
价值表：
投入栏包括中间投入和初始投入。
在中间投入中列出1，2，…n经济部门
在初始投入中主要有折旧、劳动报酬、社会纯收入。
投入栏全面反映了物质投入和劳动投入。
（2）、宾栏—— 产出栏
产出栏表现经济部门的产品分配使用的去向
包括中间产品与最终产品
表的右端是总产品栏，它表示各实物产品的总产出量。
2、中间产品与最终产品
（1）、中间产品
它表示在确定时期内(通常以年度计)作为生产过程消耗使用的产品，这里同样有n种产品，另加一个“其他”项；
（2）、最终产品
· 即本期不再返回生产过程的物质产品。它包括：
· 本年内永远或暂时脱离了生产过程的物质产品，如用于人们生活消费和社会消费的消费品( 永远脱离生产)
·用于积累的产品( 暂时脱离生产)
·用于出口的产品( 脱离本国加工过程) 。
问题：投入产出表与GDP核算？
总产品、中间产品、最终产品概念与区别
中间产品=80+180+200=460
最终产品=20+20+100+500=640
总产品=100+200+300+500=1100
3、表的分块结构
实物表只有I、II两个象限，价值表有I、II、III、IV四个象限
（1）、第I象限：称中间产品象限。
该象限的数据形成一个n 阶矩阵，其对应的主、宾栏均有n 种实物产品，它们分类相同、排列顺序一致，构成一个棋盘式表格
同一列元素，表示某种产品在生产中对全部n 种产品的消耗量；
同一行元素，说明这种产品分配给哪些产品生产用去的数量。
第I象限每一元素qij 和Ｘij都有两个含义：从列向看表示j产品生产中对i产品的消耗量，从行向看表示i产品分配给j产品生产的使用量。
价值表与实物表不同，它除了表现生产技术特点外，还受到价格变动因素的影响，同时，价值表中都是可比较的价值量，可以表现出经济部门间比例关系
可见，第Ｉ象限表现了实物产品之间的生产、分配关系，因此说该象限反映了国民经济部门之间的技术经济联系，是该表的中枢部位。
（2）、第II象限：最终产品象限
行向表示某产品作为最终产品使用的各种用项( 如消费、积累、出口等)
列向表示某一用项的实物构成
可分析最终使用的构成，以及积累与消费间的比例关系
（3）、第III象限：初始投入
第III象限是第I象限在纵向方向的延伸。对应的是初始投入，主要包括折旧、劳动报酬和社会纯收入。
其中折旧是一个特殊的项目，在产品的价值形成过程中，它与第Ｉ象限的中间投入(物质产品与劳务消耗)共同构成转移价值，它又与劳动报酬、线收入一起组成初始投入，而后二者应属于新创造价值
主要表现生产部门的净产出，以及收入的初次分配。
列向合计称为部门增加值。
（4）、第IV象限
本应反映国民收入再分配的情况(折旧除外)，但由于资金运动和再分配过程极其复杂，难以用限定的栏目充分、完善地表现它们，故通常将此象限省略。
4、表中元素间的数量关系
（1）、实物表同行元素可以加总
同行元素由于采用同样的计量单位，它们可以相加得到该产品的总产品量，即中间产品加最终产品等于总产品。
同列元素因为各是不同的实物产品，计量单位不统一，不能进行加总，这是实物表的一个重要特征。
（2）、价值表行向与列向均可以加总
5、实物表的第二种表式
它与第一种表式的区别主要是增加了III象限，即在投入栏目中增设了初始投入(最初投入)栏目。
增设的第III象限组成长方矩阵
其行向表示某项初始投入在各实物产品上的分布
列向表示某产品各种初始投入的量值及结构。
第III象限包括了大量的有用信息，它与第Ｉ象限结合起来，为全面开展实物产品的成本分析、效益分析以及计算单位实物产品上的价值指标，进而测算单价提供了条件。
二、按行建立的数学模型
由于实物型投入产出表只有行向合计关系，而价值型投入产出表则行向和列向都可以进行合计，因而实物型投入产出表基础上只能建立行向模型，而价值型投入产出表可同时建立行向又有列向模型
以下只是基于价值表来说明行向与列向模型的建立
1、价值表中的数量关系
（1）、水平方向
表现经济部门的产品分配使用的去向，各种用项之和等于总产出
中间产品＋最终产品＝总产品
（2）、纵列方向：
表示产品生产中的各种投入要素，这些要素的价值量之和即为总投入
中间投入＋初始投入＝总投入
（3）、价值表不仅可以从行向反映各经济部门的产品分配使用、实物运动的去向，而且还能够从列向表现各部门生产投入及价值形成过程。它可以从双向考察和分析国民经济系统。
2、按行建立的数学模型
表示各生产部门对某经济部门产品的消耗量，加上该产品作为最终产品的使用量，得到这一部门产品的总产品量。写成等式：
(2.2.1)
…
或采用求和符号写成
(i=1,2,……n) （2.2.1’）
上述产品平衡关系式表现了各产品的生产、分配关系
但各式之间的联系不够紧凑，它未形成一个有机联系的整体，所反映的数量关系简单化、表面化，有待进一步深化其关系。为此，引入直接消耗系数。
3、引入直接消耗系数
（1）、直接消耗系数的含义
直接消耗系数是投入产出分析中的基本概念之一，其含义是生产某种单位产品对另一种产品的消耗量。 公式形式为：
（2.2.2）
分子为价值表第Ｉ象限的元素，表示j部门生产中对i产品所消耗的价值量，分母xj是价值表列向总计，为j部门的总投入量。
aij的含义则是j部门每单位产值中对i产品消耗的价值量。
实物型直接消耗系数表示j产品每生产一个单位实物产品对i产品消耗的实物量。实际上，这是生产管理中经常使用的生产技术消耗定额。如，生产一吨钢消耗生铁的数量、生产一吨煤消耗电力的度数，等等。
影响直接消耗系数大小的因素
1）、技术水平，管理水平
2）、部门内部的产品结构
3）、价格的相对变动
4)、需求与生产能力的利用程度
5）其他
（2）行模型中引入直接消耗系数
由式(2·2·2)导出：
将其代入(2·2·1')式，则有：
(i=1,2,……n)
用矩阵向量形式记为：
Ａx＋y＝x (2·2·3)
此式为引入直接消耗系数的价值型数学模型。 式中Ａ为价值型直接消耗系数矩阵，Ｘ为价值型社会总产品( 总产值) 列向量，y 为价值型的最终产品列向量。
经过类似实物模型的推导，可以得出引入完全消耗系数的数学模型：
Ｘ－ＡＸ＝y
表明总产品Ｘ扣除中间产品ＡＸ后即为最终产品y，而后导出：
(Ｉ－Ａ)Ｘ＝y (2·2·4)
Ｘ＝(Ｉ－Ａ)－1y (2·2·5)
Ｘ＝(Ｂ＋Ｉ)·y
上述模型被称为按行建立的价值型数学模型，或简称行模型。
利用它们可以在给定Ｘ时计算y，亦可先给去y去解Ｘ，模型模拟了国民经济系统总产品与最终产品的依存关系。
（3）引入A系数的意义：
1）把行与列联结起来，使平衡数量关系得以深化；
2）引入该系数后，即可将物质生产中的技术联系置入模型中，从而使模型不再局限于行向元素数量关系上，
3）把微观的技术定额与宏观的经济关系融为一体，加强了模型的有机联系和整体性，深化了数量关系
4）引入直接消耗系数矩阵Ａ后，可将个别的局部指标与全部产品的总量指标联系起来
（4）、(I-A)的经济含义
根据矩阵运算，上式可推出：
Ｑ－ＡＱ＝y
或(Ｉ－Ａ)Ｑ＝y (2·1·4)
n阶方阵(Ｉ－Ａ)经济含义：
分布在矩阵主对角线上的元素(1－aij)，由于aii0，元素均为正值，表示除去自身消耗的净产出
主对角线以外元素均为负数或零，反映单位产品的投入
不仅如此，还可进一步推出：
(2·1·5)
式中出现了(Ｉ－Ａ)的逆矩阵，其经济意义如何?又引出了更深层次的数量关系。
4、完全消耗系数
（1）、完全消耗系数的含义
完全消耗系数是投入产出分析又一重要概念。为理解它，首先要弄清楚什么是完全消耗?
所谓完全消耗，它应包括直接消耗和全部的间接消耗，如图2.1 反映钢产品对电力的完全消耗。
钢对电的完全消耗示意图
图2.1中钢对电、生铁、煤、耐火砖、冶金设备(冶金设备对钢厂是折旧)均为直接消耗；
而这些产品在生产中又消耗电，钢通过生铁等产品传递的对电的消耗为第一间接消耗；
钢消耗生铁，生铁消耗铁矿石，铁矿石生产消耗电，这属于第二间接消耗，钢消耗煤，煤消耗坑木，坑木消耗电，也属于第二间接消耗，还可追下去有第三、四……各层次的间接消耗。
钢对电的完全消耗包括：钢对电的直接消耗和钢通过各产品传递的各层次的全部间接消耗。
（2）、完全消耗系数的计算
完全消耗系数是指某产品j生产单位产品量对另一产品i的完全消耗量，记为bij
计算关系式应是：
完全消耗系数＝直接消耗系数＋全部间接消耗系数
要计算钢产品j对电产品i的完全消耗系数bij，首先包括钢对电的直接消耗系数aij，下一步应设法找出计算钢对电的全部间接消耗系数。
钢在生产中可能直接消耗1 ，2 ，3……n 种产品，而这些产品又直接或间接消耗电。
钢产品j通过1号产品对电i的全部间接消耗bi1·a1j
生产一个单位钢消耗1号产品是a1j，而每一单位1号产品对电的完全消耗系数为bi1，那么钢产品通过1号产品对电的全部间接消耗系数应是bi1·a1j，
通过2号产品传递的全部间接消耗系数为bi2·a2j
以此类推则有bi3·a3j……bii·aij，一直到bin·anj
最后将各途径传递的间接消耗系数加总起来，则有图2.2。
bij＝aij＋bi1a1j＋bi2a2j＋…＋biiaij＋…＋binanj
该式准确地反映了完全消耗系数与直接消耗系数的数量关系
不足是无法由后者计算前者的任务，必须借助于矩阵运算才能实现。
上式矩阵形式表示为：Ｂ＝Ａ＋ＢＡ
式中Ｂ为完全消耗系数矩阵，亦为n阶方阵，包括n*n个完全消耗系数
进一步推导：
以上是按j产品直接消耗的K产品作为传送中介计算全部间按消耗系数的方法被称为渠道法。
以下再介绍一种按照间接层次计算全部间接消耗系数的方法
(2·1·10)
于是，又找到另一种由Ａ计算Ｂ的计算公式。式中Ａ^2是第一间接消耗系数，Ａ^3为第二间接消耗系数，以此推下去，为各层次的间接消耗系数，将它们加总得到全部间接消耗系数。
综上所述，引入完全消耗系数的数学模型为：
(2·1·11)
（3）、完全消耗系数与完全需要系数
矩阵Ｂ和(Ｉ－Ａ)^－1，既有联系，又有区别
1）从数学形式上比较
它们都是n 阶方阵，在数量上后者比前者多含一个单位矩阵Ｉ，即只是在主对角线位置上的元素大1 ，两上矩阵的其余元素均对应相等
2）二者在经济意义上的差别在于
矩阵Ｂ是完全消耗系数，其元素bij 表示j 产品生产单位最终产品对i 产品的完全消耗量( 只是中间消耗) ；其元素bij的含义
矩阵( Ｉ－Ａ)^ －1 习惯称之为列昂惕夫逆阵，其元素cij 表示j 部门生产单位最终产品对i 产品的完全需要量，这里既包括对中间产品的需要，又包括了对最终产品自身的需要，即对总产品的完全需要，故叫作完全需要系数矩阵。
三、按列建立的数学模型
表中各列亦可建立数学模型，反映各部门投入要素的构成或价值形成过程。这是实物模型无法做到的。
依据价值表列向数量关系建立如下等式：
可简写成： ??
(j=1,2, ……n）
引入直接消耗系数后，即将Ｘij＝aijＸj代入上式?
为使模型简化，我们设：
则模型改写成：
(j＝1，2，……n) (2·2·7)
式中acj是直接消耗系数矩阵第j列元素的合计，称直接物质消耗系数，其含义是j部门生产单位产值对所有物质产品消耗量。Ｎj为j部门初始投入或增加值总量
现将上式写成矩阵形式(2·2·8)
在给出直接消耗系数矩阵Ａ和总产品生产任务Ｘ之后，即可利用该模型计算相应的增加值Ｎ。
模型中Ａc的形式是：
(I-Ａc)的含义是单位产值中的增加值(或初始投入)。
上述列向模型对应的逆运算形式是：
Ｘ＝(Ｉ－Ａc)^－1·Ｎ (2·2·10)
模型中：
该矩阵元素的含义是提供单位增加值所需总产品的数量。该数学模型可在确定增加值之后利用模型计算总产品量。
行模型与列模型的关系
各部门总投入应与相同部门的总产出相等
各部门总投入等于总使用
从经济总量看，各部门生产量之和应等于产出使用量之和
总投入合计等于总使用合计
最终产值的生产量与最终产品的使用量相等
第二与第三象限总量相等，但某部门的最终产值与该部门最终产品并不相等
四、投入产出模型中的其它主要系数
除了在建立数学模型时引入的系数矩阵Ａ、Ｂ、(Ｉ－Ａ)^－1和向量Ａc之外，还可计算如下系数：劳动消耗系数、社会纯收入系数、折旧系数、分配系数。
1、折旧系数
直接折旧系数的计算公式为：
元素adj＝Ｄj/Ｘj(j＝1，2，……n)
式中dj表示j产品在生产过程中的固定资产折旧额，adj表示j产品单位实物产品中的折旧
向量表示为Ａd＝(ad1，ad2，……，adn) (2·2·11)
可通过(Ｉ－Ａ)－1计算完全折旧系数向量Ｂd
Ｂd＝Ａd(Ｉ－Ａ)^－1 (2·2·14)
元素bdj表示j产品生产单位最终产品对固定资产折旧的完全消耗量
2、劳动消耗系数
（1）、直接劳动消耗系数（直接劳动报酬系数）
计算公式为：元素avj ＝Ｖj/ Ｘj(j ＝1 ，2 ，……n) (2·1·13)
式中vj 为j 产品的劳动报酬投入量，Xj是该产品的总产量，avj 则是j 产品单位实物产品的劳动报酬，即直接劳动消耗系数。
n 种产品形成该系数的行向量Ａv ，即Ａv ＝(av1av2……avn) (2·2·12)
可通过(Ｉ－Ａ)－1计算完全劳动消耗系数向量Ｂv，
Ｂv＝Ａv(Ｉ－Ａ)^－1 (2·1·14)
元素bvj表示j产品生产单位最终产品对劳动的完全消耗量(以劳动报酬计)
3、社会纯收入系数
直接社会纯收入系数计算公式为：
amj＝Ｍj/Xj (2·1·15)
(j＝1，2，……n)
表示j产品单位产品中的纯收入。
n种产品形成向量Ａm＝(am1am2……amn)。
与此相对应，还可计算相应的完全系数：
完全社会纯收入系数
Ｂm ＝Ａm( Ｉ－Ａ) －1 (2·1·16)
5、价值型表系数之间的关系
与实物模型不同，它们相互之间有如下数量关系：
Ａc＋Ａd＋Av+Ａm＝Ｉ (2·2·17)
Ｂc＝Ａc(Ｉ－Ａ)^－1 (2·2·18)
Ｂc为完全物质消耗系数，
或Ｂc＝ＩＡ(Ｉ－Ａ)^－1＝ＩＢ(2·2·19)
Ｂd＋Ｂv＋Ｂm＝(Ａd＋Ａv＋Ａm)(Ｉ－Ａ)^－1
＝(Ｉ－Ａc)(Ｉ－Ａ)－1
＝Ｉ(Ｉ－Ａ)(Ｉ－Ａ)－1
＝Ｉ (2·2·20)
经济含义:每一部门的总产值等于完全工资、完全利润、完全税收和完全折旧之和，即没有中间投入部分。
钢材
原油 工资
工资 利税
化肥 利税 折旧
工资 折旧
利税
种籽 折旧
化肥
农业 商业
总产值 工资
利税
折旧
最终我们有：
农业总产值＝完全工资＋完全折旧＋完全利税
Ｂc＋Ｂd＋Ｂv＋Ｂm＝ＩＢ＋Ｉ＝Ｉ(Ｂ＋Ｉ)
＝Ｉ(Ｉ－Ａ)－1 (2·2·21)
6、分配系数
计算公式为：rij＝qij/Ｑi (2·1·12)
(i，j＝1，2，……，n)
分配系数rij是以实物表第Ｉ象限元素为分子，以同行元素对应的总产品为分母计算得到的
分配系数矩阵：可计算n*n个，组成n阶方阵Ｒ
由于分子、分母采用同一种实物计量单位，故该系数仅是一比值
含义：是i产品分配给j产品中间消耗使用量在总产出量中所占的比例
利用价值表也可计算分配系数
(i,j=1,2,....,n)
如果价值表的部门分类与实物表的产品分类完全一一对应，他们所计算出来的分配系数应对应相等，但实际上很难实现
五、价值型投入产出模型实例
1.建立行向模型
首先，计算直接消耗系数矩阵：
MATLAB
为计算直接消耗系数，先把中间消耗流量x 与总投入行向量z 输入matlab
计算直接消耗系数
zhat=diag(z)
a=x*zhat^(-1)
计算完全消耗系数b 与列昂惕夫逆阵c
c=(eye(5)-a)^(-1)
b=c-eye(5)
Y=(I-A)X
X=(I-A)^-1Y
MATLAB验证
X=CY
输入最终需求y列向量
C*y
1.0e+004 *
0.4676
1.3813
0.2430
0.0682
0.1315
2.建立列向模型
Ｘ＝(Ｉ－Ａc)^－1·Ｎ
直接折旧系数(Ａd)：
Ａd＝(0.02160.04570.02100.15330.0452)
直接劳动报酬系数( Ａv) ：
Ａv 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 实物型Ａ只表示实物产品间的生产技术联系，其元素在数值上仅要求它大于或等于零，即aij≥0，并不要求aij请点击下方选择您需要的文档下载。
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