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专题强化十九　动态圆问题

目标要求
　1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．

1．临界条件

带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．

2．解题步骤

分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形

3．常见的几种临界情况

(1)直线边界

最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．

最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．

如图1，P为入射点，M为出射点．

图1

(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：

当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．

当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大．

题型一　“平移圆”模型

适

用

条

件

速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示





轨迹圆圆心共线

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行



界定

方法

将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法





例1
　(多选)如图2所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)

图2

A．粒子在磁场中的运动半径为

B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域

C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为

D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为

答案　CD

解析　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确．

题型二　“旋转圆”模型

适

用

条

件

速度大小一定，方向不同

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示





轨迹圆圆心共圆

如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上



界定

方法

将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法





例2
　如图3所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，正确的图是(　　)

图7

答案　D

解析　首先当粒子沿x轴负方向运动的时候，其轨迹如图所示，是一个完整的圆，随着粒子的出射角度向y轴正方向逐渐转动过程中，这个圆逐渐沿顺时针方向转动；当粒子沿y轴正方向的时候，其轨迹为一个半圆．根据分析在这个轨迹圆转动的过程中，图中完整的圆与半圆相交的部分不会有粒子经过，故D项正确．

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