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第一讲 旋转与垂径定理

编者：黄某某

基本知识梳理

1、旋转

旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现

旋转的条件：具有公共端点的等线段

旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；

（1）求旋转后点的坐标的问题

（2）正方形绕直角顶点旋转

（3）夹半角模型

2、垂径定理

二、思想方法引领

第一部分：旋转

1、求旋转后点的坐标的问题

【方法引领】

（1）旋转90°后点的坐标规律总结：已知点??的坐标为（??，??），??为坐标原点，连结????，将线段????绕点??按顺时针方向旋转90°得??

??

??

，则点

??

??

的坐标为（??，???），将线段????绕点??按逆时针方向旋转90°得

??

??

，则点

??

??

的坐标为（???，??）

（2）旋转180°后点的坐标规律总结：已知点??的坐标为（??，??），??为坐标原点，连结????，将线段????绕点??按顺时针方向（或逆时针方向）旋转180°得??

??

??

，则点

??

??

的坐标为（???，???）

例1：点A(2,-3)绕原点顺时针旋转180°得点C的坐标为 .

点A(2,-3)绕原点逆时针旋转90°得点C的坐标为 .

练1:点A(2,-3)绕点B(-1,2)逆时针旋转180°得点C的坐标为 .

练2:点A(1,-3)绕点 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 P是______三角形.

/3、夹半角模型

【方法引领】特点：①共端点的等线段；②共顶点的半倍角

方法：利用截长补短或旋转的方法做辅助线，与勾股定理相结合.

例2：已知：如图：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。

求证：????+????=????

/

练习1：如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N。

证明：

????

2

+

????

2

=

????

2

/

第二部分：垂径定理

【方法引领】

1、解有关圆的问题时，时常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定规律，利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”（往往又只是作圆心到弦的垂线段），连接半径，构造直角三角形.

2、垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R、圆心到弦的距离d、弦长a和弓形高h等数量的计算.这些量之间的关系是

??

??

=

??

??

+

(

??

??

)

??

，??=??+??.根据这些关系，在a、r、d、h四个量中，知道其中任何两个量，就可以求出其余的两个量.

例3：如图，
是?0的直径，弦
于点
，若
，
，求
的长．

/

练习1：如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度
为
，拱高
为
，当洪水泛滥到跨度只有
时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有
，即
时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

/

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