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课题：1.3.3 函数的奇偶性与单调性的综合

学习目标展示

理解奇偶函数的单调性的性质；

会解决有关抽象函数的单调性与奇偶性的问题.

衔接性知识

如何用定义判断函数的奇偶性？

答：按“求定义域
化简解析式
计算

结论”来判断

2.如何判断函数的单调性？

基础知识工具箱

要点

性质



奇函数的性质

①
是奇函数

的图象关于原点对称

②
是奇函数



偶函数的性质

①
是偶函数

的图象关于
轴对称

②
是奇函数



奇偶函数的运算

具有奇偶性的两个函数在公共定义域上有：

奇＋奇＝奇、奇×奇＝偶、奇×偶＝奇、偶×偶＝偶



单调性的性质

①若
，则
与
的单调性相同；若
，则
与
的单调性相反

②若
，则
与
的单调性相反；

③具有单调性的两个函数在公共定义域上有：

增＋增＝增、减＋减＝减，其它情形规律不确定



奇偶性与单调性的关系

若
为奇函数，则
与
时单调性相同；若
为偶函数，则
与
时单调性相反



典例精讲剖析

例1.函数
的值域为________．

[解析]　∵
在(－∞，1]上单调递减，
在[－3，＋∞)上单调递增．

∴
在[－3,1]上为减函数，

∴当
时，
；当
时，

所以
的值域为

例2.已知函数
是奇函数，
是偶函数，且对于定义域内的任一
都有
，求
与
的解析式．

[分析]　利用函数的性质再得到一个关于
与
的等式，然后把
与
看作未知量，利用方程的观点求解
与
．

[解析] 由
①

用
代替
得，

∵
为奇函数，
为偶函数，∴
②

由①+②，得
，由①－②，得

例3.若函数
是定义在
上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且
，则使得
的
的取值范围是(　　)

A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析]　由题意知
，

当
时，
，所以
；

由对称性知，
时，
为增函数，
，，所以
。

故
或
，即
时，
，因此选B.

[点评]　可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.

例4.已知函数
对任意
，总有
，且当
时，
，
，

(1) 判断
的奇偶性；

(2)求证
在
上是减函数；

(3)求
在
上的最大值及最小值．

[分析]　欲证(1)中
为减函数，依定义，对
必须证出
.利用单调性求
在
上的最值，而将条件
时，
转化为
时，
是本题的关键．

[解析]　(1)∵
，∴
，又
，∴
，所以
是奇函数

(2)设
则

∵
，据题意有

∴
，即
，∴
在
上是减函数．

(3)由(2)知，f(x)在
上递减，∴
最大，
最小，

而
，

f(－3)＝－f(3)＝2

∴
在
上的最大值2，最小值为－2.

精练部分

A类试题（普通班用）

1. 对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是(　　)

A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数

C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数

[答案]　D

[解析]　画出函数图象如图，图象关于
轴对称，所此函数为偶函数，

在(－∞，－1]上为减函数．

2. 函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为(　　)

A．0 B．－ C．－1 D．1

[答案]　A

[解析]　y＝x－在[1,2]上为增函数，当x＝1时y 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ＝－4.∴值域为[－7，－4]．

（2）f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，∴最小值为f(2)＝－8，

又f(－3)＝17，f(4)＝－4.

(也可以通过比较－3和4哪一个与对称轴x＝2的距离远则哪一个对应函数值较大，开口向下时同样可得出．)∴最大值为17，值域为[－8,17]．

（3）∵f(x)＝(x－2)2－8，当x∈[a－1，a]时y的取值范围是[1,8]，∴2?[a－1，a]．当a2即a>3时，f(x)在[a－1，a]上是增函数，

则∴a＝6.综上得a＝－1或a＝6.

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