三角形培优资料
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第01讲 全等三角形的性质与判定
01．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
02．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.
03．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.
04．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：BE＋CF＞EF；
问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.
05．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.
06．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易某某：AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
第02讲 角平分线的性质与判定
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.
02.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD
03．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.
巩固提高
01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C． mn D．2 mn
02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③
04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P
08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK
11．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP
第3讲 轴对称及轴对称变换
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
04．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
05．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
06．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．
⑴求证：AB＝CD；
⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
07.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
第4讲 等腰三角形
【变式题组】
01．（呼和浩特）在等腰"緼BC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A.7 B.11 C.7或11 D．7或10
02.（黄冈）在"緼BC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．
03.（襄樊）在"緼BC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将"緼BC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
04.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.
05．如图，在"緼BC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．
06.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
07．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
08.（枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
．
【变式题组】
01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，"縋EF也始终是等腰三角形，请你说明理由．
02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF;
⑵连接AF，试判断"緼CF的形状，并说明理由．
03．如图，"緼BC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．
⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；
⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．
【变式题组】
01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.
03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.
【变式题组】
01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．200 B．1200 C．200或1200 D．3600
02．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）
A．9 B．15 C．15 D．12或15
03.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
04．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（ ）
A．800 B．900 C．1000 D．1080
05．如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF
06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）
A．700 B．1100 C．1400 D．1500
08．（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.
09．如图所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.
10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.
11．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
⑵证明：．
12.（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
13.（临沂）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
培优
01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①③④ D．只有①②③④
02．如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）
A.10个 B.12个 C.14个 D.16个
03．如图，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA, ∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.
04．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________.
05．(全国联赛)在等腰RtABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于E,交AB于F．则 ＝_____________
06．如图，在ABC中，AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线，CF⊥BC, BE⊥BC.求证：AE＝AF.
07．（湖州市竞赛试题）如图，在RtABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB
11．如图，已知在△中，AB＝AC，∠BAC＝900，AD＝AE, AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G．求证：BG＝AF＋FG
第五讲 等边三角形
【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
(1)求证：△ACE≌△DCB;
(2)求∠AFD的度数；
(3)判断△CMN的形状
【变式题组】
01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
则∠BAC的大小等于__________ 度
02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD ．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ
04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．
【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数
【变式题组】
01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．
02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．
【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．
(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;
(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由
【变式题组】
01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．
02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°
求证：AC＝BC＋DC．
巩固提高
01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝( )
A 105° B 85° C 95° D 75°
第1题图 第2题图 第3题图
02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝ AB ③ CE＝ BC ④∠A＝2∠E，其中正确结 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 D≌△BAE：
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．
05．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．
求证：△ADE≌△DFC
06．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易某某：CD＝BE，△AMN是等边三角形．
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；
(2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．
07．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE,连接EC,取EC的中点M，连接DM和BM．
⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；
⑵如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
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