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第二章 第1节 不等式的性质

知识梳理

1．实数的基本性质

设
，则

2．不等式的反身性与传递性

；若
，则

3．不等式的运算性质

①平移性

②叠加性

③伸缩性

④叠乘性

⑤乘方性 设
，则

⑥开方性 设
，则

4．不等式性质的应用

①比较两个代数式的大小；

②证明一些不等式；

③求有关参变量的范围.

典型例题

例1 判断下列各命题的真假，并说明理由．

（1）若
，则

（2）若
，则

（3）若
，则

（4）若
，则

（5）若
，则

（6）若
，则

分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．

解：（1）

，是真命题．

（2）可用赋值法：
，有
，是假命题．

也可这样说明：
，∵　
，只能确定
，

但
的符号无法确定，从而
的符号确定不了，所以
无法得到，实际上有：

（3）与（2）类似，由

，从而
是假命题．

（4）取特殊值：

有
，∴　是假命题．

（5）
，　∴是真命题．

（6）举反例：
，则有

说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．

例2已知函数
满足
求
的取值范围。

分析：如果能用
与
将
“线性”表示出：
，就可利用不等式的基本性质，由
、
的取值范围，推出
满足的条件．

解：∵

∴

故
　

由不等式的基本性质，得

说明：（1）也可设
，由待定系数法求得
，
．

内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 了方程，就可以用方程的一些知识去思考问题、处理问题了，当中的“主元思想”读者可要反复感悟的.

例6若
，求证：

思路分析：构造函数
，用函数的单调性和不等式的性质证明不等式.

容易证得，函数
在
上是递减函数，在
上是递增函数. 于是，当
或
时，函数
在
上的最大值为
，即有
（*）

由
，知
，所以，对不等式（*），得
，

即

同理

将上面2个不等式叠加，立得

通过分析，可以得知，不等式取等号的条件是：
，或者

习题

A组

1．设直角三角形两直角边的长分别为
和
，斜边长为
，斜边上的高为
，试比较
和
的大小关系。

2.若
试比较：
与
的大小；

3.若
，求证：

4.设
和
都是非零实数，求不等式
和
同时成立的充要条件．

5．若
、
满足
，求
的取值范围.

6．已知
，且
，判断
与
的大小关系.

B组

7．设函数
，判断对于任意的实数
和
，
是
的什么条件？

8．设实系数一元二次方程
有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)，求
的取值范围.

9．已知
，求
的取值范围.

10．已知
是正数，并且
，求证

11．已知
，求证：

12．实数
满足
，求证

习题参考答案

1.

2作差比较法

3作商比较法

4.

5仿例2

6

7充分且必要

8

9

10分类讨论

11代数变形

12作差配方法。

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