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核主成分分析（KPCA）讲解：罗某某KPCA算法实际上就是加核的PCA算法，它主要针对于非线性可分问题，给出了一种对该类问题进行特征提取的有效方式。与PCA特征提取算法类似，KPCA算法只是先将原始非线性可分数据通过某种变换映射到线性可分的高维空间，然后将该高维空间看成是新的原始空间，再对此空间内的数据通过PCA算法来提取特征，得到特征提取结果。

主要从以下几个方面进行讲解：

核方法

KPCA实现步骤

实验仿真

核方法核方法产生的理论背景布尔异或函数（不能用线性鉴别函数进行分类）：

显而易见,我们找不到任何一条直线能够将两个正例(“+”）和负例(“-”)分开。

然而我们可以对初始的模式向量进行扩展,使之包括新的特征,这些新的特征是原始输入特征的二阶组合。

即将 映射为 ,则4个训练样本能够被正确地分类。几何上,我们看到点(1,1)在第3维上升高了,则最终的分布可以很容易地通过一个平面将这两类样本正确地分开。

如果一个分类问题在其定义的空间中非线性可分的,可以通过某种映射（变换） 把数据从原始空间映射到一个高维空间,使数据在高维空间中线性可分,从而可以用简单的线性判决函数来解决十分复杂的问题。把这种变换空间中的线性判决函数称为原问题的广义线性判决函数。然而,这种高维空间的维数往往很高,极易陷入所谓的“维数灾难”,使得这种变换思想在实际中很难实现。核方法则借助基于核函数的非线性映射方法,巧妙地克服了这一问题。

核方法的主要思想就是要解决一个非线性可分问题,首先设法通过非线性变换 将x映射到另一高维特征空间F中,如图所示。

原问题转化为高维特征空间F中的线性问题。为了避免直接计算 ，定义了核函数k核函数设n维的随机矢量x是一个非空集合, F为一个内积空间, 为x到F的非线性映射函数,如果函数 满足：

对任意 ，有 ，则称k为核函数。核函数必须满足 Mercer 条件：

对于任意给定的对称函数 K(x,y),它是某个特征空间中内积运算的充分必要条件是对于任意的不恒为０的函数 g(x)，且 ，有 。

考虑到核方法的基础是实现一种由输入空间到特征空间的非线性映射，假设输入空间数据 ，

对任意对称、连续且满足Mercer条件的函数，存在一个Hilbert空间H,对映射 ： ，有

式中， 是 H 空间的维数。上式进一步说明，输入空间的核函数实际上与特征空间的内积相等价。由于在核方法的各种实际应用中，只需要应用特征空间的内积，而不需要了解映射 的具体形式。换句话说，在使用核方法时只需要考虑如何选定一个适当的核函数，而无需关心与之对应的映射 可能具有复杂的表达式和很高的维数。 常用的核函数（3类）：1）多项式核函数：

2）高斯核函数：

3）Sigmoid核函数：

< 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 p>根据公式 ，其中 ，得到 ，即特征提取算法中所用到的特征提取矩阵。

根据

计算得 ，由 组成的特征集就是输 出特征集，至此算法结束。 实验仿真仿真结果：Toy人工数据集的KPCA投影图谢谢[文章尾部最后300字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]

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