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常见的传染病模型及结论

传染病的基本数学模型，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。

一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类：

1、S 类，易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；

2、E 类，暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；

3、I 类，感病者 (Infectious)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；

4、R 类，康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。

SI 模型

将人群分为 S 类和 I 类，建立如下微分方程：

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这里 β 为传染率。在疾病传播期内，所考察地区的总人数 S(t) + I(t) = K 保持不变。利用这一守恒关系得

内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 所研究的传染病为非致死性的，但康复后获得的免疫不能终身保持，则康复者 R 可能再次变为易感者 S。此时有

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总人数 S(t) + I(t) + R(t) = N 为常数。参数 α 决定康复者获得免疫的平均保持时间。系统有两个不动点 S = N（I = R = 0）或 S = γ / β（I / R = α / γ）。前者表示疾病从研究地区消除，而后者则是流行状态。消除流行病的参数条件是 γ > βN。若做不到，则要尽量减小 α 而增加 γ，使更多人保持对该疾病的免疫力。

SEIR 模型

如果所研究的传染病有一定的潜伏期，与病人接触过的健康人并不马上患病，而是成为病原体的携带者，归入 E 类。此时有

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仍有守恒关系 S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = 常数，病死者可归入 R 类。潜伏期康某某 γ1?和患者康某某 γ2?一般不同。潜伏期发展为患者的速率为 α。与 SIR 模型相比，SEIR 模型进一步考虑了与患者接触过的人中仅一部分具有传染性的因素，使疾病的传播周期更长。疾病最终的未影响人数 S∞?和影响人数 R∞?可通过数值模拟得到。

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