小学数学_《鸽巢问题》教学设计学情分析教材分析课后反思
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《鸽巢问题》教学设计
执教老师：许某某
一、教学目标
（一）知识与技能
通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。
（二）过程与方法
结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
（三）情感态度和价值观
在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。
二、教学重难点
教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
三、教学准备
糖块、铅笔、笔筒和多媒体课件。
四、教学过程
（一）猜糖果游戏导入
教师：瞧：老师带来了什么？
预设：糖块。
教师：一共有几块？
预设：3块。
教师：我把3块糖拿在2只手里，你能猜出我一只手里有几块糖吗？学生猜测。（教师让学生猜两次）
教师：不管我怎样拿，总有一只手里不少于几块糖？
预设：不少于1块。
教师：另一只手里有几块？
预设：不少于2块。
教师边演示边说：一开始这只手里拿3块，第二次拿2块，说明：总有一只手里不少于2块糖。
教师：这句话里“总有”是什么意思？
预设：一定有。
教师：这句话里“不少于2块”是什么意思？
预设：最少有2块，不少于2块，包括2块及2块以上。
教师：只要同学们留心观察，再加上认真思考，就一定有伟大的发现。接下来看我们这节课还有哪些发现？
【设计意图】激发学生的学习兴趣，使学生在游戏中理解“总有”、“至少”的意思。通过对“总有”“至少”的意思的单独说明，让学生更深入地理解“不管怎么放，总有一只手里至少有2块糖”这句话。
（二）探索新知
1．教学例1。
（1）教师：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支某某。为什么？
教师：“总有”什么意思？“至少”什么意思？
请同学们以小组为单位动手试一试。
教师：谁来说一说结果？
学生：可以放4，0，0； 3，1，0； 2，2，0； 2，1，1。
教师：我们的数学讲究简洁 ，所以我们可以把这种放法记为2,1,1 （教师根据学生回答在黑板上画图表示四种结果）这种方法称为列举法。板书：2，1，1 2,2,0 3,1,0 4,0,0 这种方法称之为列举法。在利用列举法记录数据时要注意按一定的顺序，这样才能做到不重复，不遗漏。还有同学是这样分的（展示作业纸）。不管怎样分都是有这样的4种方法。把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支某某。这句话说的对吗？你找到那支某某筒了吗？
假设法（反证法）：
教师：前面我们是通过动手操作得出这一结论的，如果把很多支某某放进很多个笔筒再用这种方法，你感觉怎么样？
预设：麻烦。
教师：下面我们以把4支某某放进3个笔筒为例。请同学们认真观察每一种放法，想一想，哪种放法最能说明不论怎么放，总有一个笔筒里至少放2支某某？
预设：第3种情况。
教师：同学们观察这3种情况都有空桶，这时表示至少数的杯子里笔的支数可能比至少数多，也可能和至少数相等。而没有空桶的情况下，表示至少数的杯子里笔的支数就是至少数。请同学们想一想到底哪一种情况才能直接得到结论？
预设：第4种放法。
教师：这种方法是怎样放的？学生进行组内交流，再汇报，教师进行总结：
如果每个笔筒里放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。这就是假设法。板书：假设法。首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。这就是“平均分”的方法。板书：平均分。
【设计意图】从另一方面入手，逐步引入假设法来说理，从实际操作上升为理论水平，进一步加深理解。
教师：我们知道了把4支某某放进3个笔筒中，总有1个笔筒里至少有2支某某，你知道把5支铅笔放到4个笔筒里，总有一个笔筒里至少有几只铅笔吗？
引导学生分析“如果每个笔筒里放1支铅笔，最多放4支，剩下的1支不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。首先通过“平均分”，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
教师：把6支铅笔放到5个笔筒里呢？把10支铅笔放到9个笔筒里呢？把100支铅笔放到99个笔筒里呢？……你发现了什么？
引导学生得出“只要铅笔数比笔筒数多1，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
教师：上面各个问题，我们都采用了什么方法？
引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。
【设计意图】让学生自己通过观察比较得出“平均分”的方法，将解题经验上升为理论水平，进一步强化方法、理清思路。
（2）练习教材第68页“做一做”第1题（进一步练习“平均分”的方法）。
以上研究的都是先“平均分”，然后剩下1个的情况，有没有可能剩余更多的情况？
教师：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
预设：先让每个鸽笼里各飞入1只鸽子，最多飞入3只，还剩下2只，这两只鸽子各飞入2个笼子里，这时总有1个鸽笼里至少飞入2只鸽子。如果剩余的2只鸽子同时飞入1个鸽笼里，这只笼子里就放进了3只鸽子，也能保证总有1个鸽笼里至少有2只鸽子。
教师：这两种情况，哪一种情况能直接得到这一结论？
预设：第1种情况。
教师：这一种情况是怎样飞的？
预设：是剩余的2只鸽子分别飞入2个笼子里。
【设计意图】研究余数比1大时的情况，从而使学生理解至少数不是商＋余数。
2．教学例2。
（1）课件出示例2。
生活中还有哪些现象也是这样有趣呢？
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？
先小组讨论，再汇报。
引导学生得出仿照例1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放2本，剩下1本不管放在哪个抽屉里，都会变成3本，所以总有一个抽屉里至少放进3本书。”
教师：你会用算式表示出来吗？
引导学生得出7÷3=2……1? ?? ?
教师：7表示什么？3呢？2呢？1呢？
不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本，至少数3是怎样得来的？
（2）教师：如果把8本书放进3个抽屉，会出现怎样的结论呢？10本呢？11本呢？
教师根据学生的回答板书：
7÷3=2……1? ??不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；
8÷3=2……2? ??不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；
10÷3=3……1? 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本；
11÷3=3……2? 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本。
教师：像这样的例子我们举得完吗？如果用字母a表示待放物体数，用字母n表示抽屉数，用b表示平均每个抽屉放入的物体数，用c表示平均分完后余下的物体数，你会用字母算式表示它们之间的关系吗？
预设：a÷n=b ……c（a>n, c≠0）那么，总有一个抽屉至少可以放(b+1)个物体。
观察上述算式和结论，你发现了什么？
引导学生得出“物体数÷抽屉数=商数……余数”“至少数=商+1”。
教师：当算式中有余数时，至少数=商+1 如果算式中没有余数，至少数等于什么呢？
预设：至少数=商。
【设计意图】一步一步引导学生合作交流、自主探索，让学生亲身经历问题解决的全过程，增强学习的积极性和主动性。引导学生总结归纳解决这一类鸽巢问题的一般方法。
教师：不论是把笔放进笔筒里，还是把书放进抽屉里或是鸽子飞进鸽巢里，这些都是一类问题，我们统称为鸽巢问题或是抽屉原理。介绍鸽巢问题的由来。现在我们知道了什么是鸽巢问题和抽屉原理，同学们，你有文具盒吗？我们把文具盒看成抽屉，会不会创造出文具盒原理？口袋大家有吗？你能创造出口袋原理吗？其实生活中有许多的问题都可以利用抽屉原理来解决，这就是一种解决问题的“模型”。用这个模型解决问题的时候我们只需分清什么是待分物体，什么是抽屉。
【设计意图】让学生利用所学知识，自己会创造类似鸽巢问题的各种原理，从而达到学以致用的目的。
（三）巩固练习
1．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
2．5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
（四）课堂小结
教师：通过这节课的学习，你有哪些新的收获呢？
我们学会了简单的鸽巢问题。可以用画图的方法来帮助我们分析，也可以用除法的意义来解答。
板书设计：
鸽巢问题
列举法：2,1,1 2,2,0 3,1,0 4,0,0 假设法：“平均分” 7÷3=2……1 至少数=商+1 2+1=3
《鸽巢问题》学情分析
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，在生活中应用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本节内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与熟悉原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
《鸽巢问题》效果分析
《鸽巢问题》是人教版六年级下册数学广角的内容，与前后知识点没有联系，比较孤立。数学广角主要是数学思想方法的渗透，提升思维水平。虽然小学阶段的鸽巢原理的内容比较简单，但是学生建立鸽巢原理的一般化模型比较困难。这节课，给我整体的感觉是教师教得扎实，学生学得有效。她能够根据新课改的要求努力做到，以学生为主体，以教师为主导，放手学生又有效调控课堂。在教学过程中充分发挥了学生的主体性，许老师的这节课有以下亮点：
1、激发了学生的学习兴趣，引发了学生的求知欲。
课前许老师通过猜糖果游戏导入，非常贴切新课，吸引了同学们的眼球，激发了学生的学习兴趣，引发了学生学习数学的求知欲，为学生学习鸽巢原理作了很好的铺垫。
2、用具体的操作，将抽象变为直观。
本节课许老师组织的教学结构紧凑，实施过程层层推进上的扎实有效，教师通过让学生小组合作动手操作，探究例1：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放总有一个笔筒里至少有2支铅笔。先让学生用枚举法，把所有情况摆出来，运用直观的方式，发现并描述：理解简单的“鸽巢原理”，举例后学生感知理解“铅笔支数比笔筒个数多1时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。再让学生探究解决问题的简便方法，即“平均分”的方法，在这节课中，由于许老师提拱的数据较小，为学生自主探索和理解“鸽巢原理”提供了很大的空间，使学生经历了一个初步的数学证明过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑思维能力。
3、多媒体课件的应用课堂教学更直观形象。
本节课多媒体课件的使用，使知识形成的过程更形象直观的展现给学生，把抽象的枯燥的数学原理用生动形象的动画呈现在学生眼前。不但激发了学生的学习兴趣，还充分发挥了学生用视觉获取知识的优势。
虽然许老师在课堂上的“精彩”深深憾动了我，但我觉得她在一些微小的细节中语言略显不够精炼，如能再在细微处更上一层楼那就更完美了。
总之，整节课的教学活动，充分发挥了学生的主体作用，教师提供了独立思考、主动探索的空间，还为学生创设了良好的交流氛围，学生在思考、操作、讨论交流的过程中获得数学概念、数学方法，促进了学生全面发展。
《鸽巢问题》教材分析
“鸽巢问题”是六年级下册内容，鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果，应用很广泛且灵活多变。这部分教材通过几个直观的例子，借助直观操作、观察、表达等方式，让学生经历从不同的角度认识鸽巢原理。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。
教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。那么，这里的“一定有一个抽屉”是什么意思？“至少两个物体”是什么意思？“一定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。
教学中应注意：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。
《鸽巢问题》练习题
1、六（2）班有学生40人，我们可以肯定，在这40人中，至少有( )人的生日在同一个月？这是为什么呢？
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张扑克牌任意抽牌。
（1）从中抽出18张牌，至少有几张是同花色？
（2）从中抽出20张牌，至少有几张数字相同？
3、11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
4、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
《鸽巢问题》教学反思
数学广角的教学是为了丰富学生解决问题的方法和策略，使学生感受到数学的魅力。“鸽巢问题”是六年级下册内容，应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒问题，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一。本节课我让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。但对于小学生来说，理解和掌握“鸽巢问题”还存在着一定的难度。我的设计思路是这样的：
一、情境导入，初步感知
创设情境。从学生熟悉的游戏开始激发兴趣， 兴趣是最好的老师。课前“猜糖果的块数”的小游戏，简单却能真实的反映“鸽巢问题”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，有效地调动和激发学生的学习主动性和兴趣，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。另外通过游戏中学生的疑问，自然解决对“总有”和“至少”两个词的理解。
1、关键词“至少”的突破。
在“猜糖果的块数”这一环节，我把3块糖放在两只手里，让学生们猜糖果的块数。在猜的过程中使学生感悟到：“不论我怎样放，总有一只手里至少有2块糖。”这一有趣的结论。我让学生们说一说：“你是怎么理解至少有两块糖的？”学生说的很好，很到位。学生说：“至少有两块糖的意思就是可能是2块或2块以上。”我接着问全班同学：“可能是几块？”全班同学说：“可能是2块或3块。”全班同学回答声音之响亮，让我觉得学生对“至少2块”的意思理解的非常到位。就这样这节课第一个关键词“至少”就突破了。
2、关键词“总有”突破。
“不管怎么放，总有一只手里至少有2块糖。”让学生说一说对“总有”的理解，一共就两种放法（3,0）和（2,1），学生回答的也相当不错，学生说：“这两种情况里，第一种情况有一只手里放了3块，第二种情况有一只手里放了2块，所以这两种情况不管哪种情况，都有一只手里至少放了2块，总有就是一定有的意思。”我没有想到学生回答的那么到位。这样就突破了这节课的第二个关键词“总有”。在所有的情况里，不管哪种情况，“总有”就是“一定有”一只手里至少放了2块或2块以上的糖果。
二、活动中恰当引导，建立模型
1、突破列举法。例题“把4支铅笔放到3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。为什么？”让学生同位合作，试一试有几种放法？让学生把4枝铅笔放入3个笔筒中的所有情况通过摆一摆、画一画或写一写等方式都列举出来，并且把每一种情况里两只以上的圈出来，所以每一种情况里都有一个笔筒里放了至少2支铅笔。这就是列举法也就是穷举法。在学生汇报的过程中突破了重复的现象：（2,1，1）（1,2,1）和（1,1,2）是一种放法，这3个笔筒没有区别，把2支铅笔放到哪个笔筒都一样，都是一个笔筒放2支，另2个笔筒各放1支。教学中我让学生去观察并发现这一重复现象，并通过学生的实际操作解决了一共有4种不同的摆放方法即：（4，0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）和（2,1,1）。
2、突破假设法。解决了重复现象后。我接着引导学生“如果有很多支某某，再用列举法同学们感觉怎么样？能不能，不用摆出所有的情况，有更简洁的办法想到肯定符合总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”这是这节课的难点，比较抽象。我引导学生以“把4支铅笔放到3个笔筒里”为例，请同学们观察前3种情况都有空桶，这时表示至少数的杯子里笔的支数可能比至少数多，也可能和至少数相等。而没有空桶的情况下，表示至少数的杯子里笔的支数就是至少数。请同学们想一想到底哪一种情况才能直接得到结论？同学们回答问题积极踊跃，都认为是最后一种情况。我接着提问：“这种方法是怎样放的？”学生们进行组内交流，再汇报：如果每个笔筒里放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。这样就顺理成章地完成了“假设法”的教学。
3、建立初级模型。在假设法教学的基础上我进一步让学生理解：“把5支铅笔放到4个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2只铅笔。这是为什么？”学生用假设法说的相当好。“把6支铅笔放到5个笔筒里，总有一个笔筒里至少放几支铅笔。”然后我接着问：“把100支铅笔放到99个笔筒里，总有一个笔筒里至少放几支铅笔？为什么？”通过让学生们观察铅笔的支数与笔筒的个数之间的关系，从而理解最简单的“鸽巢原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”，建立了初级模型。
4、利用除法算式，建立至少数是商+1的数学模型。通过研究“5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？”，让学生明白在假设法的基础上，分完之后余下物体的个数大于1时，继续将剩余的“平均分”就能得到至少数。在例2的教学时，让学生借助直观操作发现列举法适用于数字较小时，有局限性，而假设法应用范围广，假设把书尽量多的“平均分”到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本，可以用有余数的除法这一数学规律来表示。
大量例举之后，再引导学生总结归纳这一类“鸽巢原理”的一般规律，让学生借助直观操作、观察、表达等方式，让学生经历从不同的角度认识鸽巢原理。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商+余数”还是“商+1”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。
在这堂课的难点突破处，也 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入两个或两个以上的苹果。虽然我们无法断定哪只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物称为集合，那么上面的结论就可以表述为：假如把多于《数学广角──鸽巢问题》教材分析个元素按任一确定的方式分成《数学广角──鸽巢问题》教材分析个集合，那么有一个集合中至少含有2个元素。还可以表述为：把多于《数学广角──鸽巢问题》教材分析 (《数学广角──鸽巢问题》教材分析是正整数)个元素按任一确定的方式分成《数学广角──鸽巢问题》教材分析个集合，那么一定有一个集合中至少含有（《数学广角──鸽巢问题》教材分析+1）个元素。
由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特结.定构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。
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