武XX考几何压轴题分析与探索
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2020年武XX考几何压轴题分析与探索
*_**学 李某某
【摘要】
2020年XX市中考数学试题第23题是一道几何压轴题，对学生构造能力的要求高，本文对其设计技巧与突破方法进行详细的分析与探索，并进行了多途径的深入研究.
【关键词】
构造相似，一题多解
题目：问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝，直接写出AD的长．
分析：（1）∵ΔABC∽△ADE，∴
∴∴△ABD∽△ACE
第一问作为问题背景，属于相似的基础性问题，但是它为后面的问题指引了前进的方向，即“旋转相似构造法”.
(2)方法1：受第一问的启发，连CE. 由ΔABC∽ΔADE,可得ΔABD∽ΔACE，令CE=m,则
BD=，AD=3m,由ΔADF∽ΔECF可得：
方法2：作BD的中垂线交AB于P，连PD.则有∠APD=∠C=60?，又有∠PAD=∠CDF，
∴ΔDCF∽ΔAPD，，又令PB=PD=m,则BD=，AD=3m，∴
方法3：延长BC至点P，使CP=CF，连PF. 可得ΔABD∽△DPF，∴
又令CP=CF=m,则PF=，∴DF=3m，
点评： 方法一按第一问提供的方向使用了三次相似，方法二和方法三各只构造了一次相似和一个顶角为120?的等腰三角形，做起来相对简单，构造简洁精彩.
(3)分析：设CD=m，则BD=m，BC=2m.
【方法一】过C作CE∥BD且使∠CBE=∠ABD，连DE. 可证：△BAD∽△BCE.
可得：△BAC∽△BDE，∠DCE=90°.
∴，即.
∴.∴，∴.
【方法二】延长BD至E，使∠CAE=30°，连CE，
∴∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE
∴△ABD∽△ACE，∴，∴
∴
又，∴.
【方法三】作∠BAP=∠CAD，∠ABP=∠ACD.则△ABP∽△ACD，∴∠APB=∠ADC
可证：△APD∽△ABC，∴，∠APD=∠ABC，∴
又∵∠ADC=∠DAB+∠ABC+∠DCB=90°+∠ABC=90°+∠APD
∴∠BPD=90°
∴，又，∴.
【方法四】作∠CBP=∠CAD，∠BCP=∠ACD，
∴△CAD∽△CBP，可证：△CDP∽△CAB，
∴，∴.
又∠CPB=∠CDA=30°+60°+∠ABC=90°+∠CPD，∴∠BPD=90°
∴，又，∴.
【方法五】作∠ABP=∠CBD=30°，∠BAP=∠BCD=60°，连PD.
∴AP=2，BP=，可证：△BAC∽△BPD，∴，∴
又∠PAD=90°，∴.
【方法六】作∠ACP=∠BCD=60°，∠CAP=∠CBD=30°，连DP.
∴∠APC=90°，∴，AP=3，△CPD∽△CAB
∴∠CDP=∠CBA，，∴PD=
又∠CDA=30°+∠ABC+60°=90°+∠ABC=90°+∠CDP
∴∠ADP=90°.∴AD=.
【方法七】作DH⊥AD交AB于H，连CH.
可证：△DCH∽△DBA.∴，∠DHC=∠DAB=30°
∴CH=，∠CHA=90 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 股定理的使用，方法七、八是将△BCD绕D顺时针和逆时针旋转相似，也只用一次相似、勾股定理和边角关系，主法九和方法十则不是旋转构造相似.
第一问尽管简单，但它指明了后两问题的突破方向！全国各地中考压轴题大多有这一特点！本题图形简洁，设问层层深入，第三问的构造相似对“几何构造能力”的要求还是较高的，也有很好的区分度，在2020年全国各地中考试题几何压轴题中是出得很漂亮的试题.
作者简介：
李某某，*_**学竞赛班数学教师、学校数学教研组长，2018年中考，所带班级创造了高分屏蔽等多项全市第一的优异成绩，2020年全国女子奥林匹克金牌得主（全国第三名）王泊宁就是其初中培养的学生.
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