数学实验.第二版.Mathematica简介

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Mathematica 简介

?数值计算与符号计算

在Pascal和C等高级语言中，表达式由常数、变量和函数组成，表达式的计算结果是一个数值或一个字符,数值计算是高级语言的主要目标;符号计算是相对数值计算而得其名，在符号计算中，表达式的计算结果仍是一个表达式,例如，多项式因式分解的计算结果仍是多项式因子的乘积，不定积分的计算结果是被积函数的原函数.

?符号计算系统

符号计算系统是一个数学软件系统，它主要包括:数值计算、符号计算、图形功能和程序设计四个方面功能.它含有功能强大种类丰富的内部函数，用户也可以自定义函数并扩充到系统函数中.

符号计算已有几十个软件系统，一般有专用系统和通用系统两类，都有适合于从工作站到微机使用的多种版本.目前，通用符号计算系统按字母顺序排列有:Axiom Macsyma Maple Mathematica Reduce 和 Dirive 等.

符号计算系统通常都有两种运行方式:一种是交互式，每发一个命令,就执行一种相应的数学计算，例如，在Mathematica中，计算定积分j j;2(ll —sin z)dz的函数命令是：Integrate[2T2(ll - sinx) , {x, - 1,1}],另一种方式是写一段程序，系统连续执行一系列的命令，就像用Fortran或C写程序一样.每个符号计算系统都有自己的程序设计语言，这些语言与通用的高级语言大同小异.

Mathematica是优秀的符号计算系统之一.在本章中简要列出Mathematica 系统的主要函数，供使用参考.要进一步掌握和了解Mathematica的功能，请查阅系统的在线帮助和参考有关的书籍.

?关于 Mathematica

Mathematica是美国Wolfram***开发的符号计算系统.1988年发布 Mathematica系统的1. 0版，因系统精致的结构和强大的计算能力而广为流传，经不断扩充和修改后，在1991年和1997年推出了功能更加充实和完善的 Mathematica 2. 0 版和 Mathematica 3. 0 版，在 1999 年推出了 Mathematica 4. 0 版.Stephen Wolfram是Mathematica的创始人，并公认是当今科学计算的先驱.Wolfram 1959年生于伦敦.他就读过Eton（伊顿公学）,oxford（牛津大学）和 Caltech（加州***）?于1979年20岁时在加州***获理论物理学博士学位.

Wolfram的研究范围包括了物理学、数学和计算机的许多领域.1981年主持开发了第一个计算机代数系统SMP.他早期的工作主要在能物理、量子场论和宇宙学方面.由于他在物理和计算方面的成绩,1981年成为最年轻的麦克阿（Mac- Arthur）奖学金获奖者.1986年，他创办了杂志Comliex Systems.担任过伊里诺大学复杂系统研究中心的主任，物理学、数学和计算机科学教授.

从Wolfram Research公司创办开始,Stephen Wolfram就***的总裁并致力于Mathematica的发展，Wolfram负责Mathematica的总体设计，他写了 Mathematica大部分的基本核心代码.

DanielR. Grayson伊里诺大学的数学教授.他于1976年在麻省理工获得数学博士学位，他写了 Mathematica的数学部分的许多内容，包括任意精度的算术运算、解方程、矩阵演算、蓦级数和椭圆函数.

Roman E. Maeder 负责Mathematica的符号积分、多项式因式分解和其他多项式运算.他给计算数学研究生开设了“数学实验室”课程.

Stephen M. Omobundro 写了 Mathematica 的三维图形程序代码.Omobundro 于1985年在伯克力加州大学获数学物理学博士学位.1985至1986年他曾在 Think Machines公司从事大规模并行计算的算法方面的工作.他是Connection Machine计算机的LISP语言设计者之一.

Mathematica是最大的单应用程序之一，它内容丰富功能强大的函数覆盖了初等数学、微积分和线性代数等众多的数学领域,它包含了数学多方向的新方法和新技术;它包含的近百个作图函数是数据可视化的最好工具;它的编辑功能完备的工作平台Notebooks已成为许多报告和论文的通用标准；在给用户最大自由限度的集成环境和优良的系统开放性前提下，吸引了各领域和各行各业的用户.

现在Mathematica在世界上拥有超过一百万的用户，已在工程领域、计算机科学、生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学等范围得到应用.尤其在科研院所和高等院校流行.它也是“数学模型”和“数学实验”课程最好的工具之一.世界各地的大学和高等教育工作者已开发基于Mathematica的多门课程.

? 进入 Mathematica

Mathematica 2. 2 版

在“开始”菜单的“程序”中单击“Mathematica 2. 2”.屏幕显示一个随机的启

工作屏幕上有主菜单和一些个工具按钮，菜单意义文如其名.例如:File表示文件,Edit表示编辑,Cell表示对Cell（单元）的处理大部分工具按钮也是 “图”如文义，例如，用剪刀表示剪切.下列几个常用按钮的工具按钮：

创建、打开、保存、打印Notebooks按钮

剪切、复制、粘贴、取消按钮

计算表达式、动画、图形的Postscript.播放声音

3维图形视点、颜色选择、帮助按钮

Mathematica 4. 0 版

在“开始”菜单中单击

幕（图17-2）,和低版本相比，高版本以菜单命令为主，减少了按钮命令，用户可自定义按钮命令.

IEvaluation->Evaluate Cells 命令.

单击运行按钮H(3.0以下的版本).

例如：启动 Mathematica 后，输入 Plot [xSin[l/x] , (x, 一 0. 5,0. 5}]，按 Shift +回车键，屏幕显示图17 - 3.

图17-3执行一条命令后的窗口

为了紧缩版面，在例题中将同行显示= ”和输入的内容，请不要将 aln[x]:= ”误以为是用户输入的字符.在程序中，用注释语句（*说明* ）给出程序的简要说明.

输入函数或命令的快捷方式

键入函数或命令的第一个或前几个字符，按快捷键Ctrl + k；或单击菜单 Input->Complete Selection命令.这时屏幕上显示以键入字符为首的函数和命令列表，在列表上单击某个函数或命令，系统则将这条函数或命令粘贴到你的输入中.单击函数和命令列表框右边的上下箭头，可调出更多的函数和命令.用户自定义的函数也自动放在列表中.

?退出 Mathematica

要退出Mathematica,单击窗口右上角的关闭窗口按钮E3,或在“文件”菜单中选择“Exit”命令，或按“AM + F4”.如果窗口中还有内容没有保存到Note- book中，这时会出现一个对话框，系统要问你是否保存，单击对话框上的“否（N）”按钮则关闭窗口，单击“是（Y）”按钮，则保存Notebook后再退出窗口 .退出后返回到调入Mathematica以前的状态.

?在Mathematica中获取帮助

单击Help菜单中的Mathematica Book…命令项某某Shift + Fl调出帮助菜单，菜单上六个选项卡的名称都是Help菜单的成员.Help菜单的基本帮助信息为六个选项卡共享.里面有一本完整的Mathematica使用指南,键入内容的序号或单击菜单命令，可获得相关的帮助信息.下列各选项卡的帮助目标.

选项卡名称

说明

Built - in Function

内建函数按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放

Add - ons

有程序包(Standard Packages) ,MathLink Library 等内容

The Mathematica Book

一本完整的Mathematica的使用手册

Getting

初学者首选处，有初学者入门指XX多种演示

Started/Demos

Other Information

菜单命令的快捷键，二维输入格式等

Master Index

按字母顺序给出命令、函数和选项的索引表

除了单击Help（帮助）菜单获取帮助外，在行文中输入“？函数名”，可得到有关函数的调用形式和相关说明，输入“？？函数名”，则得到更多的信息.

例如：？ Integrate （ *单击运行按钮，系统显示如下* ）

Integrate[f ,x] gives the indefinite integral of f with respect to x Integrate[f,{x,xmin,xmax}] gives the definite integral

Integrate^, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax} J gives a multiple integral

例如：？ Plot * ( *显示所有以Pl。七开头的函数和选项名称* )

—、Mathematica中的基本量

?数与数的表示

数值类型

Mathematica的简单数值类型有整数、有理数、实数和复数.整数(Integer) 由若干个0到9的数字组成,数字之间不能有空格、逗号和其他字符，正负号放在整数的首位，输入时，正号可省略不写，只要内存允许,Mathematica可以表示任意长度的精确整数，不受所用的计算机的字长所限制.在Mathematica中允许使用分数，也就是用有理数(Rational)表示一个化简过的分数.当两个整数相除而又不能整除时，系统就用有理数来表示.例如：夺，系统自动对分数做可能的化简，自动约去分子和分母的公因子.输入时，我们用分子/分母的形式,用除号隔开分子与分母;输出时，系统一般用分式的形式，当分子和分母数值较大时，有时某某分子/分母的形式表示.

类型描述

例说明

整数 Integer

*** 任意长度的精确整数

有理数 Rational

13243/*** 化简过的分数

实数 Real

***. 89123 任意精度的近似实数

复数 Complex

***.0+3. 2 I 实部和虚部可为整数、有理数、实数

数学常数数学常数 Pi

Degree

Infinity

意义

穴=3. 14159

自然对数的底e = 2. 71828-

1 度,tc/180

虚数单位i=』

8,无穷大

这些数学常数都是精确数，用在公式推导和计算中，在公式推导中数学常数多为精确数;用在数值计算中的数学常数可以取任意精度?

数的输出

N[表达式] 以实数形式输出表达式

N[表达式以〃位精度的实数形式表示表达式

?变量

给变量取名

在Mathematica中内部函数或命令都是以大写字母开头的标识符，为了避免混淆，在Mathematica中变量名通常以小写英文字母开头，后跟字母或数字，变量名字符的长度不限.例如:abcdefghijk,A>X3都是合法的变量名；而2七和 uv（u与v之间有一空格）不能作为变量名.在变量名中英文字母大小写意义不同，因此A与a表示两个不同的变量.在Mathematica中变量即取即用，不需要先说明变量的类型再使用.

给变量赋值

在Mathematica中用"=”或“:=”起赋值作用，一般形式为:

变量=表达式或变量1 =变量2 =表达式

变量清除变量的值

clear[变量]清除变量的定义和值

在Mathematica中”应理解为给变量定义一个值.在Mathematica中，一个变量可以表示一个数值、一个表达式、一个数组或一个图形.

变量替换

变量有两种获取数值的方式，赋值是一种方法，另一种是对变量做替换. expr/. Ihs - >rhs 用 rhs 替换 expr 中的 Ihs

expr/. （Ihsl - >rhsl,lhsl - >rhsl,…｝分别用 rhsi 替换 expr 中的 Ihsi 定义中的Ihs可为变量或函数名等多种对象.

例

In[l] = f = x^2 + l?f/.x->l（* 用 1 替换中的 * ）

Out[l] = 2

In[2]： =g = ar2 + y、2；g/. ｛x- >2疗- >1｝（ * 在 g 中替换 x,y 两个变量 * ）

0ut[2] = 5

In[3] : = Cos[l - x] + Cos[x]/. Cos - >Sin（ * 函数 sin 替换函数 cos * ） 0ut[3] = Sin[l~ x] + SinQx]

?表

循环描述

表在形式上是用花括号括起来的若干元素，元素之间用逗号分隔.在运算中，可对表作整体操作，也可对单个元素操作.表可以表示数学中的集合、向量和矩阵，也可表示数据库中的一组记录?表中的元素可为任何数据类型?表的元素可为数值、表达式和表.同一个表中的元素可为不同的数据类型.表中元素较少时,直接使用形式:变量={元素1,元素2,…}键入表中元素，即在给出表名的同时又建立了表中元素.更多的时候需要用建表命令.在学习建表命令前，先了解 Mathematica中的循环描述.

循环描述形式：{循环变量，循环初值，循环终值,步长}

循环变量、循环初值、循环终值和步长可为整数、有理数和实数.当步长为1 时可省略，当循环初值为1时可省略.例如：

{i,max}i 从 1 到 max； {max}重复 max 次；

, {j , jmin, jmax} i 从 imin 到 imax,并对 i 的每一个值 j 从 jmin 到 jmax

建表函数

Table[通项公式，{循环范围}，{循环范围}]

按循环范围定义表,用通项公式的规则定义表的元素.

Range[初值，终值，步长]

生成值为(初值，初值+步长，…，终值}的数值表.

In[l]： = Range[3,9,2] 、

Out[l] = {3,5,7,9}

In[2]: = b = Table[i+j-l,(i,l,3),(j,l,3}]

0ut[2]： = {{1,2,3},{2,3,4),(3,4,5})

表的分量表示

在上例中，当b表示一个二维表时表示b中的第2个子表，即第二行元素，如果s= 0,3,5,7},s[[2]]表示表的第2个元素3;下列表示表的分量的部分形式.

表的分量

意义

或 Part[t,n]

表t中的第”个子表

- n]]或 Part[t, - n]

表t倒数第〃个元素

First[list]

表list的第一个元素

Lastflist]

表list的最后一个元素

t[[{nl,n2, —)]]或

给出表t的第nl,n2,n3…个元素组成

Part[t, (nl,n2,n3, —}]的表

表*的第，个子表的第j个元素

给出在表list的第n位置插入expr后的结果给出在表list的首部插入元素expr后的结果给出在表list的末尾插入元素expr的表在表list的末尾插入元素expr

取list中的前〃个元素

取list从m到n的元素（包括mm在内）给出删掉第一个元素之后的集合

给出删掉m到刀个元素之后list的集合

用expr替换list中n处的元素给出表Hst中元素的数目

将表list的元素按照标准顺序排序去掉重复的元素后对元素排序将表list中元素的顺序倒过来把list中的所有元素相加把中的所有元素相乘

例将数组a中所有元素相加.

=a= {5,8,5,7,2,6}；

: = Apply^Plus,a]

0ut[2] = 33

In[3N=Sort[a] （ *将表b的元素由小至大顺序排列* ）

0ut[3] ={2,5,5,6,7,8）

= Reverse[ % ] （ *反转上表，即表元素由大至小排列* ）

0ut[4]= {8,7,6,5,5,2}

表的集合运算

Union|21istl ,list2, ???]

计算的和集，给出表listl,list2,…中的不同元素：

Intersection^listl ,list2, ???]

计算的交集，给出表listl,list2,…中的公共元素；

Complement[un,listl ,list2, ???]

计算un对listl,list2, —的补集，给\€在un中但不在表listl,list2,—

中元素的一个表.

?初等函数

实变量数值函数

意义

Round[x]

最接近z

的整数

FloorQx]

不大于尤

的最大整数

Ceiling]x]

不小于X

的最大整数

Abs[x]

实数工的绝对值，复数“的模

SignQx]

符号函数x>0时值为1点=。时值为。

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