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2018-2019学年八年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分共30分)
1.下列计算正确的是( )
A.x2?x3=x6 B.(xy)2=xy2 C.(x2)4=x8 D.x2+x3=x5
2.下列图案中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下来三条线段中,能构成三角形的是( )
A.3,4,8 B.5,6,11 C.5,5,10 D.5,6,7
4.下列选项中最简分式是( )
A. B. C. D.
5.在下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=2∠C B.∠A=∠B=30°
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=∠B=∠C
6.如图,△ABC≌△AED,点D在BC上,若∠EAB=42°,则∠DAC的度数是( )
A.48 B.44 C.42 D.38
7.如图,在△ABC中,∠A=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分AB,那么∠C的度数为( )
A.93° B.87° C.91° D.90°
8.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
9.下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(x+1)(x㧟1)=x2㧟1 B.x2㧟4x+4=x(x㧟4)+4
C.(x+3)(x㧟4)=x2㧟x㧟12 D.x2㧟4=(x+2)(x㧟2)
10.对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Min{a,b}表示a、b中的较小的值,如Min{2,4}=2,按照这个规定,方程Min{,}=㧟1的解为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.1或㧟2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.当x= ,分式的的值为零.
12.已知三角形的两边为2和5,则第三边x的取值范围是 .
13.分式,,的最简公分母是 .
14.光的速度约为3×105km/s,以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107s计算,则这颗恒星到地球的距离是 km.
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是 .
16.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边某某a1,第2个等边三角形的边某某为a2,以此类推,若OA1=3,则a2= ,a2019= .
三.解答题(共66分)
17.先化简,再求值:(x㧟2y)2㧟x(x+3y)㧟4y2,其中x=㧟4,y=.
18.一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度,求多边形的边数.
19.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,若S△ABD=12,求DF的长.
20.先化简再求值:,其中x=
21.如图,△ABC中,∠B=2∠C
(1)尺规作图:作AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E;
(2)连接AE,求证:AB=AE.
22.山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.
(1)求二月份每辆车售价是多少元?
(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?
23.特殊两位某某乘法的速算㧟㧟如果两个两位某某的十位某某字相同,个位某某字相加为10,那么能立即说出这两个两位某某的乘积.如果这两个两位某某分别写作AB和AC(即十位某某字为A,个位某某字分别为B、C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个4位某某,前两位某某字是A和(A+1)的乘积,后两位某某字就是B和C的乘积.如:47×43=2021,61×69=4209.
(1)请你直接写出83×87的值;
(2)设这两个两位某某的十位某某字为x(x>3),个位某某字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位某某的乘积为100x(x+1)+yz.
(3)99991×99999= .
24.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC= °,∠DEC= °;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数.若不可以,请说明理由.
25.如图1,△ABC是边长为8的等边三角形,AD⊥BC下点D,DE⊥AB于点E
(1)求证:AE=3EB;
(2)若点F是AD的中点,点P是BC边上的动点,连接PE,PF,如图2所示,求PE+PF的最小值及此时BP的长;
(3)在(2)的条件下,连接EF,若AD=,当PE+PF取最小值时,△PEF的面积是 .
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列计算正确的是( )
A.x2?x3=x6 B.(xy)2=xy2 C.(x2)4=x8 D.x2+x3=x5
【分析】根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变进行计算即可.
【解答】解:A、x2?x3=x5,故原题计算错误;
B、(xy)2=x2y2,故原题计算错误;
C、(x2)4=x8,故原题计算正确;
D、x2和x3不是同类项,故原题计算错误;
故选:C.
2.下列图案中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念作答.
【解答】解:A、是轴对称图形,不合题意;
B、不是轴对称图形,符合题意;
C、是轴对称图形,不合题意;
D、是轴对称图形,不合题意.
故选:B.
3.下来三条线段中,能构成三角形的是( )
A.3,4,8 B.5,6,11 C.5,5,10 D.5,6,7
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断.
【解答】解:根据三角形任意两边的和大于第三边,得
A,3+4=7<8,不能组成三角形;
B,5+6=11=11,不能组成三角形;
C,5=5=10,不能够组成三角形;
D,5+6=11>7,能组成三角形.
故选:D.
4.下列选项中最简分式是( )
A. B. C. D.
【分析】最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
【解答】解:A、是最简分式;
B、=,不是最简分式;
C、==,不是最简分式;
D、=3x+1,不是最简分式;
故选:A.
5.在下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=2∠C B.∠A=∠B=30°
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=∠B=∠C
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角,然后根据直角三角形的判定方法进行判断.
【解答】解:A、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A+∠B=2∠C,则∠C=60°,不能确定△ABC为直角三角形,所以A选项错误;
B、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=∠B=30°,则∠C=120°,所以B选项错误;
C、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=2∠B=3∠C,则∠A=°,所以C选项错误;
D、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=∠B=∠C,则∠C=90°,所以D选项正确.
故选:D.
6.如图,△ABC≌△AED,点D在BC上,若∠EAB=42°,则∠DAC的度数是( )
A.48 B.44 C.42 D.38
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案.
【解答】解:∵△ABC≌△AED,
∴∠EAD=∠BAC,
∴∠EAB=∠DAC=42°.
故选:C.
7.如图,在△ABC中,∠A=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分AB,那么∠C的度数为( )
A.93° B.87° C.91° D.90°
【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质解答即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠A=31°,DE垂直平分AB,
∴∠ABD=∠A=31°,
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D,
∴∠ABC=2×31°=62°,
∴∠C=180°㧟62°㧟31°=87°,
故选:B.
8.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
【分析】由作图过程可得MO=NO,NC=MC,再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC.
【解答】解:∵在△ONC和△OMC中,
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∴∠BOC=∠AOC,
故选:A.
9.下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(x+1)(x㧟1)=x2㧟1 B.x2㧟4x+4=x(x㧟4)+4
C.(x+3)(x㧟4)=x2㧟x㧟12 D.x2㧟4=(x+2)(x㧟2)
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案.
【解答】解:A、(x+1)(x㧟1)=x2㧟1,是整式乘法运算,故此选项错误;
B、x2㧟4x+4=x(x㧟4)+4,不是分解因式,故此选项错误;
C、(x+3)(x㧟4)=x2㧟x㧟12,是整式乘法运算,故此选项错误;
D、x2㧟4=(x+2)(x㧟2),故此选项正确;
故选:D.
10.对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Min{a,b}表示a、b中的较小的值,如Min{2,4}=2,按照这个规定,方程Min{,}=㧟1的解为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.1或㧟2
【分析】根据题中的新定义化简已知等式,求出解即可.
【解答】解:当x>0时,方程化简得:=㧟1,
去分母得:1=3㧟x,即x=2,
经检验x=2是分式方程的解;
当x<0时,方程化简得:=㧟1,
去分母得:2=3㧟x,即x=1,不符合题意,舍去,
则方程的解为x=2,
故选:B.
二.填空题(共6小题)
11.当x= 2 ,分式的的值为零.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
【解答】解:由分式的值为零,得
x㧟2=0且x2+1≠0.
解得x=2,
故答案为:2.
12.已知三角形的两边为2和5,则第三边x的取值范围是 3<x<7 .
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边,已知两边,则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和,这样就可求出第三边长的范围.
【解答】解:依题意得:5㧟2<x<5+2,
即3<x<7.
13.分式,,的最简公分母是 12xy2 .
【分析】确定最简公分母的方法是:
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;
(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.
【解答】解:分式,,的分母分别是2x、3y2、4xy,故最简公分母是12xy2.
故答案为12xy2.
14.光的速度约为3×105km/s,以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107s计算,则这颗恒星到地球的距离是 3.6×1013 km.
【分析】根据题意列出算式,再根据单项式的运算法则进行计算.
【解答】解:依题意,这颗恒星到地球的距离为
4×3×107×3×105,
=(4×3×3)×(107×105),
=3.6×1013km.
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是 2 .
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的值.
【解答】解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC=1,CE=AD=3.
∴DE=EC㧟CD=3㧟1=2
故选答案为2.
16.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边某某a1,第2个等边三角形的边某某为a2,以此类推,若OA1=3,则a2= 6 ,a2019= 3×22018 .
【分析】由等边三角形的性质得出∠B1A1A2=60°,易某某∠OB1A1=30°,∠OB1A2=90°,则∠MON=∠OB1A1,B1A2=OA2,推出OA1=A1B1,OA1=A1A2,同理,B2A3=OA3,OA2=A2A3,…,则a2=OA2=2OA1=2×3=6,a3=2a2=3×22,a4=2a3=3×23,…,an=3×2n㧟1,即可得出结果.
【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形,
∴∠B1A1A2=60°,
∵∠MON=30°,
∴∠OB1A1=30°,∠OB1A2=90°,
∴∠MON=∠OB1A1,B1A2=OA2,
∴OA1=A1B1,
∴OA1=A1A2,
同理,B2A3=OA3,OA2=A2A3,…,
∴a2=OA2=2OA1=2×3=6,
a3=2a2=3×22,
a4=2a3=3×23,
…,
an=3×2n㧟1,
∴a2019=3×22018,
故答案为:6,3×22018.
三.解答题(共9小题)
17.先化简,再求值:(x㧟2y)2㧟x(x+3y)㧟4y2,其中x=㧟4,y=.
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原某某进行化简,代入已知数据计算即可.
【解答】解:原某某=x2㧟4xy+4y2㧟x2㧟3xy㧟4y2
=㧟7xy,
当x=㧟4,y=时,原某某=㧟7×(㧟4)×=14.
18.一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度,求多边形的边数.
【分析】根据多边形的外角和是360°可得出内角和为4×360°+180°,再根据内角和公式可以求得多边形的边数.
【解答】解:设多边形的边某某x
∵多边形的外角和是360°,内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度,
∴可得方程(n㧟2)180°=4×360°+180°
解得x=11.
多边形的边某某11.
19.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,若S△ABD=12,求DF的长.
【分析】首先利用三角形的面积公式求出DE,再利用角平分线的性质定理解决问题即可.
【解答】解:∵AB=6,S△ABD=12,
∴×AB×DE=12,
∴DE=4,
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE=4.
20.先化简再求值:,其中x=
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原某某,再将x的值代入计算可得.
【解答】解:原某某=÷
=?
=x㧟1,
当x=时,原某某=㧟1=㧟.
21.如图,△ABC中,∠B=2∠C
(1)尺规作图:作AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E;
(2)连接AE,求证:AB=AE.
【分析】(1)依据垂直平分线的作法,即可得到直线DE即为AC的垂直平分线;
(2)依据垂直平分线的性质,即可得到AE=CE,进而得出∠CAE=∠C,根据∠AEB=∠B,即可得到AB=AE.
【解答】解:(1)如图所示:直线DE即为AC的垂直平分线;
(2)证明:∵直线DE为AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
∴∠CAE=∠C,
∴∠AEB=∠CAE+∠C=2∠C,
又∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,
∴AB=AE.
22.山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.
(1)求二月份每辆车售价是多少元?
(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?
【分析】(1)设二月份每辆车售价为x元,则一月份每辆车售价为(x+100)元,根据数量=总价÷单价,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设每辆山地自行车的进价为y元,根据利润=售价㧟进价,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)设二月份每辆车售价为x元,则一月份每辆车售价为(x+100)元,
根据题意得:=,
解得:x=900,
经检验,x=900是原分式方程的解.
答:二月份每辆车售价是900元.
(2)设每辆山地自行车的进价为y元,
根据题意得:900×(1㧟10%)㧟y=35%y,
解得:y=600.
答:每辆山地自行车的进价是600元.
23.特殊两位某某乘法的速算㧟㧟如果两个两位某某的十位某某字相同,个位某某字相加为10,那么能立即说出这两个两位某某的乘积.如果这两个两位某某分别写作AB和AC(即十位某某字为A,个位某某字分别为B、C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个4位某某,前两位某某字是A和(A+1)的乘积,后两位某某字就是B和C的乘积.如:47×43=2021,61×69=4209.
(1)请你直接写出83×87的值;
(2)设这两个两位某某的十位某某字为x(x>3),个位某某字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位某某的乘积为100x(x+1)+yz.
(3)99991×99999= ***09 .
【分析】(1)根据“前两位某某字是A和(A+1)的乘积,后两位某某字就是B和C的乘积”进行计算;
(2)这两个两位某某的十位某某字为x(x>3),个位某某字分别为y和z,则由题知y+z=10,利用多项式乘多项式的计算法则解答;
(3)利用1×9=9,91×99=909,991×999=99009…找出规律解答.
【解答】解:(1)83和87满足题中的条件,即十位某某都是8 内容过长,仅展示头部和尾部部分文字预览,全文请查看图片预览。 =8,∠B=∠BAC=60°
∵AD⊥BC,
∴BD=DC=4,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,∠BDE=30°,
∴BE=BD=2,
∴AE=AB㧟BE=8㧟2=6,
∴AE=3BE.
(2)解:如图2中,延长DF到H,使得DH=DF,连接EF,连接EH交BC于点P,此时PE+PF的值最小.
∵∠AED=90°,AF=FD,
∴EF=AF=DF,
∵DF=DH,
∴DE=DF=DH,
∴∠FEH=90°,
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,BD=4,∠B=60°,
∴AD=BD?tan60°=4,
∵∠BAD=∠BAC=30°,FE=FA,
∴∠FEA=∠FAE=30°,
∴∠EFH=60°,∠H=30°,
∵FH=AD=4,
∴EH=FH?cos30°=6,
∴PE+PF的最小值=PE+PH=EH=6,
∵PD=DH?sin30°=2,
∴BP=BD㧟PD=2.
(3)解:如图2中,∵BE=BP=2,∠B=60°,
∴△BPE是等边三角形,
∴PE=2,
∵∠PEF=90°,EF=AF=DF=2,
∴S△PEF=?PE?EF=×2×2=2.
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