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翻译

光滑粒子流体动力学（SPH）是用来解决天体物理学中涉及在没有边界的情况下在三个维度上任意运动的流体质量的问题。一个典型的例子[1> 2]是快速旋转的恒星裂变的数值模拟。

SPH的应用范围很广，从后牛顿型流体动力学到高超音速金属和rcx; k碰撞（奔驰在这些程序p]中描述了其他示例），表明SPH是一种多功能工具。有论据（见第9节）表明SPH在三维计算中最有效，在一维中效率最低，但是SPH的全部有效性尚待确定。毕竟，有限差分方法已经由一大批研究人员大力研究了40年，而SPH已经与我们一起工作了10年，而它的严肃研究才刚刚开始。

2.无序点插值方法

SPH涉及一组点的运动。在任何时候，这些点的速度和热能都是已知的。质量也分配给每个点，因此，这些点称为粒子。为了在一个时间步长内正确地移动粒子，必须构造流体元件将经受的力。这些力必须根据粒子携带的信息来构造。我们开始通过考虑积分内插来构造这些力的任务。从定义多个变量开始。

/

对于任何字段A（r ），我们考虑一个近似值

/其中在这里w（u，h）是插值核函数，他具有如下两个属性

/

/

例如，在三维中

/

尽管实际上我们通常会选择具有紧凑格式的核函数。 这里有无限多个可能的内核。参考文献中对核函数的讨论，见 [4-6J。

假设现在有一个密度为ρ（r）的流体。我们可以将（2.2）的RHS（公式2.2？）写作

/

为了评估积分 我们可以想象将物质分飞N个具m1、m2、…mN质量的小体积元。体积元k具有质量mk和质心rk，他们的积分为：

/

而的近似??值则由式2-7给出

/

在这里，例如，Ak：=A（rk）。等分颗粒时，其质量相等。（2.7）是一个简单的黎某某，如果ρk消失时Ak / ρk消失，则等于梯形法则。在其他情况下，更加难以估计其准确性。在有关SPH的原始论文中，式（2.7）被认为是（2.2）的蒙特卡洛估计，但是现在很明显，这对（准确度）给出了过于悲观的估计。更合理的估计是基于准序数[5]规则，其误差0.5

/，其中d为维数。

使用（2.7），我们可以通过解析函数（如果w是n倍，则也为n倍）估计在范围A中，密度为：

/

它有时被解释为由核函数对粒子的点质量进行平滑，以便从一组粒子中获得连续的密度场。

3.运动方程

目前，我们将注意力集中在无体积力的无粘性流体动力学上。为跟随粒子i的运动，我们需要?P/ρ的估计值，其中P是压力。我们可以直接计算出来，但是可以从恒等式获得对称形式

/

进而得到精确的线性和角动量守恒形式

从（2.7）中得到

/

可以将粒子i的动量方程写成-

/

式中，?i表示相对于粒子i坐标的梯度， //

值得花点时间研究（3.4）。如果

??

????

是高斯（2.4），则单位质量粒子k对粒子i的作用力为

/

因此，该中心力以及线性动量和角动量被精确地保持。尽管

??

????

是一对力，但实际上它是一个伪装的多体力，因为该系数取决于邻居确定的压力和密度（例如，见（2.8））。

在没有热源或热沉的情况下，每单位质量u的热能的变化率

/有有几种适合计算的形式，例如从式3.7开始

/

并使用（2.7）估计???? 和 ??，然后（3.6）表示粒子i变为

/

（3.8）的解释是，当粒子彼此靠近时，热能会增加（假设P> 0，对于金属的微分方程可能会违反）。我们也可以使用公式

/

推导替代能量方程

/

用金属状态方程进行的实验表明，（3.10）的能量守恒效果比（3.8）略好。出于理想气两者体都是令人满意的。

注意，仅当/只能有预估值，如果ρ是由（2.8）计算 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 重错误的。

.9关于准确性和分辨率的评论

积分插值（2.2）的精度取决于内核的形式。关于r的被积的泰勒级数展开表明，如果W是一个偶函数，则主要误差项是/。如果选择了内核

/

错误为/。但是，这些内核不满足W≥0，因此应谨慎使用（请参阅Lattanzio等人[9]）。用和（2.7）代替积分插值会引入进一步的误差。如建议的那样，如果这些点是准顺序的，则这些误差为/或等效值/，其中d是维数，此处我们假设/ 。在一维积分误差/占主导地位，而三维插值误差/占主导地位。我们推断一维精确度较低，而三维精确度高。当然，对于许多问题，冲击管实验就是一个例子，一维粒子是高度有序的，并且上面的误差估计过于悲观。

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