3.2.1 分层演练 综合提升
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A级 基础巩固
1.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 ( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
解析:因为定点F1(0,-3),F2(0,3),
所以2c=6,点P满足|PF1|-|PF2|=4|
??
??
2
|,则|
??
??
1
|-|
??
??
2
|=4,
故
|
??
??
1
|
2
+
|
??
??
2
|
2
-2|
??
??
1
|·|
??
??
2
|=16.
又因为
??
??
1
·
??
??
2
=0,
所以
??
??
1
⊥
??
??
2
,故
|
??
??
1
|
2
+
|
??
??
2
|
2
=(2c)2=
(2
5
)
2
=20,
所以|
??
??
1
|·|
??
??
2
|=2.
5.若关于x,y的方程
??
2
??+3
-
??
2
2??-1
=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是(-∞,-3).
解析:因为关于x,y的方程
??
2
??+3
-
??
2
2??-1
=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以
2??-10).
又因为双曲线经过点(2,-5),所以
25
20
-
4
??
2
=1,
解得b2=16,
所以双曲线的标准方程为
??
2
20
-
??
2
16
=1.
B级 拓展提高
7.( 全国卷Ⅰ)设F1,F2是双曲线C:x2-
??
2
3
=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C上且 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ??
2
2
=1.
(2)因为点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,|MF1|=2|MF2|,
所以点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2
3
,
解得|MF1|=4
3
,|MF2|=2
3
.
又因为|F1F2|=2
5
,
所以在△MF1F2中,
cos ∠F1MF2=
|??
??
1
|
2
+|??
??
2
|
2
-|
??
1
??
2
|
2
2|??
??
1
|·|??
??
2
|
=
5
6
,
所以sin ∠F1MF2=
11
6
,
所以
??
△??
??
1
??
2
=
1
2
|MF1|·|MF2|·sin ∠F1MF2=
1
2
×4
3
×2
3
×
11
6
=2
11
.
12.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东方向6 km处,C在B北偏西30°方向某某,相距4 km,P为敌炮阵地,某时刻在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此4 s后,B,C两地才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.
解:如图,以直线BA为x轴,线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,每个单位长度代表1 km.
/
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2
3
).
由题意,知|PB|=|PC|,
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
设敌炮阵地P的坐标为(x,y),BC的中点为D,连接PD,PA,如图,则D点的坐标为(-4,
3
).
因为kBC=-
3
,
所以直线lPD的方程为y-
3
=
3
3
(x+4). ①
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