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高考不等式经典例题

【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.

【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，

当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；

当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；

综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.

【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为(　　)

A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n

【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.

m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.

【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.

令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，

所以

故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].

题型三　开放性问题

【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？

【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞?＞0.

(1)由ab＞0，bc＞ad?＞0，即①③?②；

(2)由ab＞0，＞0?bc－ad＞0?bc＞ad，即①②?③；

(3)由bc－ad＞0，＞0?ab＞0，即②③?①.

故可组成3个正确命题.

【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).

【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；

当m≠0时，可分为两种情况：

(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.

所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；

(2
)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，

其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.

①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1， 不等式的解集为{x|－1＜x＜}；

②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为?；

③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.

【变式训练2】解关于x的不等式＞0.

【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.

当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解
集为{x|x＞或x＜－1}；

当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为?；

当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.

【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.

【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0， 解得x＜或x＞1.

(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的取值范围.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).

(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大. 所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.

(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任某某(x，y)到定 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 上述不等式取“=”，即
，代入
，解得
，此时
，故
的最小值为36。

例 若正实数x，y 满足
，则xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为______）

答案：18

解：因为x>0，y>0 ，所以
，

，解得

等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。

变式答案：12

解：因为x>0，y>0 ，所以

整理得
，解得

等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。

例 若对任意
，
恒成立，则
的取值范围是 。

答案：

解：因为
，所以
（当且仅当
时取等号），所以有

，即
的最大值为
，故
。

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